Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

Теорема 1.3. Пусть пучок µL − M регулярен, p ∈ {0} ∪ N – порядок полюса L -
резольвенты матрицы M в точке ∞. Тогда существует константа C = C (L, M, T ) ∈
R + такая, что ‖u(t) − u k (t)‖ C при всех t ∈ [0; T ], u k
0 ∈ R n и f ∈ C p+1 ((0; T ) ; R n ) ∩
C p ([0; T ] ; R n ).
Доказательство теоремы основывается на оценках
взятых из [[5], гл. 2], где β ∈ R + .
2. Алгоритм решения
∥ [ kL L k (M) ] ∥ p+1
p+1 ∥∥ ∑ KCp+1
k ∥
− Q ∥R L
(p + 1)µ k−1 β p+1−k β (M) ∥ ,
k=2
∥ U
t
k U t∥ ∥
(p + 1)K 3 t 2
∥ ( (βL − M) −1 M ) ∥ 2 ∥ ,
2β p−1 k
Построение алгоритма начнем с допущения, что detM ≠ 0. Это допущение не ограничивает
общности предыдущих рассуждений. Действительно, при условии регулярности
пучка µL − M можно сделать замену u = e λt v в уравнении (3) и перейти к уравнению
L ˙v = (M − λL)v + e −λt (y + Bu) (7)
того же вида, что и (3), но det(M − λL) ≠ 0.Обратный переход от решений системы (7) к
решениям системы (3) очевиден.
На первом этапе алгоритма нужно найти числа α ∈ R и p ∈ {0}∪N. Можно разумеется,
разложить L-резольвенту матрицы M в ряд (4) и тем самым сразу же найти эти числа.
Однако, существует другой менее трудоемкий путь. Рассмотрим многочлен
det(µL − M) = a n µ n + a n−1 µ n−1 + ... + a 1 µ + a 0 .
Поскольку a n = detL, то a n = 0. Коэффициент a l есть сумма слагаемых, каждое их
которых есть произведение одного из миноров порядка l матрицы L на число, l = 1, ..., n−
1 a 0 = det(−M). Поэтому степень многочлена det(µL − M) не выше rankL, т.е. ранга
матрицы L. Итак,
det(µL − M) = a q µ q + a q−1 µ q−1 + ... + a 1 µ + a 0 ,
где q = degdet(µL − M) rankL. Поэтому, если взять число α ∈ R таким, что
{
)}
|α| > max
1, |a q | −1 ( q∑
l=0
|α l |
то det(αL−M) ≠ 0 , и, значит, существует матрица (αL−M) −1 . Далее, считая, что матрица
M обратима, представим det(µL − M) = detMdet(µM −1 L − I). Зная, что порядок полюса
в точке ∞ резольвенты (µI − M −1 L) −1 равен нулю, легко найти, что порядок полюса
L-резольвенты матрицы M в точке ∞ равен n − q. Итак, числа α и p = n − q найдены.
Тогда находя значение k, с которого можно начинать считать приближенные проекторы,
получим, что при
k > 1 n∑
|α l | + 1.
|α|
l=q+1
99