Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

Таким образом, систему (4) можно записать в виде
или
(−Hp j ) T (q k − p j ) − u(p j ) = 0,
(Hq k ) T p j = u(p j ), j ∈ V(g k ), i ≠ j (5)
Легко проверить, что если число уравнений в системе (5) превышает число неизвестных,
она остается совместной. Найдем теперь вершину f l k многоугольника F i. Ее координаты
являются решением линейной системы
Откуда получаем
n l (p l i) T (f l k − p l i) = |n l (p l i)|, (p l j − p l i) T (f l k − p l i) = 0, j ∈ V(g k ), i ≠ j (6)
Из уравнений (5), (7) следует равенство
p T j f k + u(p j ) = 0, j ∈ V(g k ), i ≠ j (7)
f k = −Hq k , (8)
которое справедливо для всех вершин многоугольника F i . Таким образом, доказана теорема:
Теорема 3. Многоугольники F i и Q i аффинно эквивалентны, т.е. Q i = φ ⋆ i (F i ), и матрица
якоби аффинного отображения φ ⋆ i совпадает с −H, где H - тензор кривизны параболоида
P в начале координат.
Заметим теперь, что при выводе равенства f k = −Hq k нигде не использовался тот факт,
что матрица H является положительно определенной, и формально оно справедливо для
произвольной матрицы H. Требуется лишь, чтобы матрица, составленная из векторов p j ,
имела бы полный ранг. Таким образом, принцип двойственности для вычисления тензора
кривизны можно использовать и для гиперболического параболоида, показанного на
рис. 3.
Из принципа двойственно- а) б)
сти следует, что грани G k
fk
l
многогранника P h , инцидентной
p l i, соответствуют верши-
Fi
oi
l
ны qk
l и f k l. Если грани G m
и G k имеют общее ребро, то
вершины qm l и qk l следует соединять
отрезком, также как
и вершины fm l и fk l . Эти рассуждения
можно применить
и в том случае, когда граница Рис. 3: а) Многогранник, вписанный в гиперболический параболоид,
вершина и двойственная грань, б) двойственная грань
F i и Q i - самопересекающаяся
ломаная. Ясно, что в таком и нормальное изображение вершины.
случае вершину p l i следует считать вырожденной, поскольку многогранник P h плохо приближает
параболоид P в ее окрестности.
Условие, что P h является вписанным многогранной поверхностью, а Ph
⋆ - описанной,
является частным случаем отношения полярности относительно параболоида [7]. Как известно,
отношения полярности многогранников можно ввести, используя произвольную
p l
j
p l i
q
k
l
p
j+1
Q i
q
k
61