Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

Покажем единственность решения. Пусть напротив ũ 1 (t) ∈ K ′ +(E 1 ) другое отличное
от ũ(t) решение. Тогда, учитывая равенства (3), (5) и свойство ассоциативности свертки,
получаем
ũ 1 (t) = Iδ(t) ∗ ũ 1 (t) = E N (t) ∗ (Bδ (N) (t) − ΛAδ(t)) ∗ ũ 1 (t) =
= E N (t) ∗ ( f(t)θ(t) + Bu 0 δ (N−1) (t) + Bu 1 δ (N−2) (t) + · · · + Bu N−1 δ(t) ) = ũ(t).
Жордановы наборы фредгольмовых и нетеровых операторов. Пусть оператор
B фредгольмов, т.е. dim N(B) = dim N(B ∗ ) = n, R(B) = R(B), {ϕ i , i = 1, . . . , n} — базис
в N(B), {ψ i , i = 1, . . . , n} — базис в N(B ∗ ), {γ i ∈ E1, ∗ i = 1, . . . , n}, {z i ∈ E 2 , i = 1, . . . , n}
— соответствующие биортогональные системы [10], т.е. 〈ϕ (1)
i , γ j 〉 = 〈z i , ψ (1)
j 〉 = δ ij , i, j =
1, . . . , n.
Введем оператор ˜B ∑
= B + n 〈·, γ i 〉z i , тогда по обобщенной лемме Шмидта [10] оператор
i=1
Γ = ˜B −1 существует и ограничен.
Пусть выполнено условие
A) оператор B имеет полный A-жорданов набор [10] { ϕ (k)
}
i , i = 1, . . . , n, k = 1, . . . , p i , т.е.
существуют элементы ϕ (1)
i = ϕ i , ϕ (k)
i ∈ E 1 , i = 1, . . . , n, k = 2, . . . , p i , удовлетворяющие
соотношениям
Bϕ (1)
i
∥
∥〈Aϕ (p i)
= 0, Bϕ (k)
i
∥
= Aϕ (k−1)
i , i = 1, . . . , n, k = 2, . . . , p i ,
причем det i , ψ j 〉 ∥ ≠ 0, i, j = 1, . . . , n; в этом случае существуют функционалы
{
(k)
}
ψ i , i = 1, . . . , n, k = 1, . . . , p i , образующие полный A ∗ -жорданов набор оператора B ∗ .
Если оператор B нетеров, т.е. dim N(B) = n, dim N(B ∗ ) = m, n ≠ m, {ϕ i , i =
1, . . . , n} — базис в N(B), {ψ j , j = 1, . . . , m} — базис в N(B ∗ ), {γ i ∈ E1, ∗ i = 1, . . . , n},
{z j ∈ E 2 , j = 1, . . . , m} — соответствующие биортогональные системы элементов, т.е.
〈ϕ (1)
i , γ k 〉 = δ ik , i, k = 1, . . . , n, 〈z k , ψ (1)
j 〉 = δ kj , k, j = 1, . . . , m, то введем проекторы
̂P ∑
=
n m∑
〈·, γ i 〉ϕ i , ̂Q = 〈·, ψ j 〉z j . Проекторам P и Q соответствует единственный
i=1
j=1
псевдообратный оператор, обозначаемый B + , однозначно определяемый следующим набором
своих свойств [11]: D(B + ) = R(B) ⊕ {z 1 , . . . , z m }, R(B + ) = N(P ) ∩ D(B), BB + =
I − Q на D(B + ), B + B = I − P на D(B), причем N(B + ) = {z 1 , . . . , z m }.
В этом случае будем предполагать выполненным условие
B) существуют элементы { ϕ (k)
}
i , i = 1, . . . , n, k = 1, . . . , p i ∈ E1 и функционалы
{
(k)
}
ψ j , j = 1, . . . , m, k = 1, . . . , p j ∈ E
∗
2 , составляюшие полные A- и A ∗ -жордановы наборы
[12] операторов B и B ∗ соответственно.
Сведения о спектрально ограниченных операторах. Приведем в удобных для
дальнейшего исследования обозначениях некоторые сведения из [13, 14].
Множество ρ B (A) = { µ ∈ C : (µB − A) −1 ∈ L(E 2 ; E 1 ) } называется B-резольвентным
множеством оператора A. Оператор A называется спектрально ограниченным относительно
B, если ∃ a > 0 такое, что при любом |µ| > a оператор (µB − A) непрерывно
обратим. Пусть γ ≡ {µ ∈ C : |µ| = r > a}, тогда пара операторов
P = 1
2πi
∮
γ
(µB − A) −1 B dµ, Q = 1
2πi
105
∮
γ
B(µB − A) −1 dµ