Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

значения изображения F (p) при вещественных значениях аргумента p > 0. Этот случай
реализован в [5]. Отметим, что данное ограничение шире ограничения применения классических
методов [8, 6], основаных на разложении оригинала в ряды по ортогональным
многочленам. В этих методах параметр p принимает вещественные целочисленные значения
p = 0, 1, 2, ..., n, с заданной степенью n полинома, аппроксимирующего оригинал
x(t).
Наиболее простой способ распространения метода НС на случай произвольного использования
иизображения F (p) в правой комплексной полуплоскости – это декомплексификация
уравнения (1) с помощью формулы Эйлера
e iω = cos(ω) + i sin(ω).
Пусть p = σ +iω, тогда e −pt = e −σt [cos(ωt) − i sin(ωt)] . Представим изображение в виде
F (σ + iω) = F R (σ, ω) + iF I (σ, ω). Подставив эти объекты в (1) и приравняв вещественные
и мнимые части, получим пару вещественных интегральных уравнений первого рода:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∫ ∞
0
∫ ∞
0
e −σt cos(ωt)x(t)dt = F R (σ, ω),
e −σt sin(ωt)x(t)dt = −F I (σ, ω).
Таким образом, система двух вещественных интегральных уравнений первого рода
(4) эквивалентна исходному комплексному уравнению (1). Для применения метода НС к
этой системе можно ослабить требование принадлежности оригинала x(t) пространству
W l 2[0, ∞). Достаточно предположить, что существует такое число α ≥ 0, что
x α (t) ≡ x(t)e −αt ∈ W l 2[0, ∞). (5)
В соответствии с этим предположением и теорией преобразования Лапласа правые части
(4) должны быть заданы на некотором множестве комплексной полуплоскости σ > α.
Если параметр α > 0, то в интегралах (4) следует сделать подстановку
ˆσ = σ − α > 0, e −σt x(t) = e −ˆσt e −αt x(t) ≡ e −ˆσt x α (t). (6)
При этом задача обращения преобразования Лапласа относительно функции x α (t) =
e −αt x(t) будет поставлена в пространстве W l 2[0, ∞).
Отметим, что декомплексификация преобразования (1) позволяет также рассмотреть
случай приближенного задания изображения ˜F (p) с поточечной оценкой погрешности,
аналогично схемам, рассмотренным в [1, 3, 5].
2. Задача о нормальном сплайне для системы (4)
Пусть изображение F (p) задано в точках
p j = σ j + iω j , σ j > 0, j = 1, n. (7)
В случае, когда изображение определено для произвольных значений p некоторой области
G ⊂ {Re(p) > 0}, эти точки могут быть результатом дискретизации некоторой её
71
(4)