Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

More documents

Recommendations

Info

Но rad (GH) |G| · rad H для любых интервальных матриц G и H согласованных размеров (см. [1, 12]), и поэтому ( rad D −1( b − Cx ∗)) |D −1 | · rad ( b − Cx ∗) = |D −1 | · ( rad b + rad (Cx ∗ ) ) . Если все компоненты вектора свободных членов b имеют ненулевую ширину — rad b > 0 , — то справедливо неравенство rad x ∗ > |D −1 | · rad ( Cx ∗) |D −1 | |C| · rad x ∗ . Оно означает, в частности, что rad x ∗ > 0, т. е. что правильное формальное решение в этом случае является телесным брусом. Кроме того, мы можем отметить, что для положительного вектора y = rad x ∗ и для неотрицательной матрицы |D −1 | |C| имеет место |D −1 | |C| y < y. Отсюда в силу свойств неотрицательных матриц следует [7, 12], что спектральный радиус матрицы |D −1 | |C| должен быть строго меньше 1. В свою очередь, это равносильно тому, что матрица C + D = A является так называемой H -матрицей. Это необходимое условие существования правильного формального решения системы (10) при rad b > 0. Отметим, что H -матрицы — это специальный класс матриц, у которых диагональ преобладает над остальной, внедиагональной, частью матрицы в спектральном смысле [7, 12]. Класс H -матриц включает в себя в качестве собственного подмножества все матрицы с диагональным преобладанием, но не исчерпывается ими. Другой пример H -матриц — это неособенные треугольные матрицы, верхние или нижние [12]. Полученное нами представление уравнения (6)–(7) в рекуррентном виде (10) позволяет ответить на вопросы о соотношении результата Предложения 3 с другими версиями формального подхода к внешнему оцениванию множеств решений, а также о качестве этого оценивания. Традиционной основой формального подхода к задаче внешнего оценивания множества решений (3) служит следующий результат, который мы приводим в современной и несколько расширенной формулировке. Теорема Апостолатоса-Кулиша [6]. Если матрица G ∈ IR n×n такова, что спектральный радиус матрицы, составленной из модулей её элементов, меньше единицы, т. е. ρ(|G|) < 1, то интервальная линейная система уравнений x = Gx + h имеет единственное формальное решение в IR n . Оно может быть найдено с помощью итерационного процесса x (k+1) := Gx (k) + h, k = 0, 1, 2, . . ., при любом начальном векторе x (0) и является внешней интервальной оценкой множества решений { x ∈ R n | (∃G ∈ G)(∃h ∈ h)( x = Gx + h ) } рассматриваемой интервальной системы. Приведение исходной системы Ax = b к рекуррентному виду x = Gx + h выполняется обычно различными преобразованиями, которые часто расширяют множество решений. Сравнивая этот результат с уравнением (10), можем видеть, что новая версия формального подхода, представленная в Предложении 2, является, по существу, очень удачно скомпонованной вариацией известного подхода, в которую неявно встроена процедура приведения системы к рекуррентному виду. В частности, из свойства субдистрибутивности классической интервальной арифметики следует включение D −1 (b − Cx) ⊆ D −1 b − D −1 Cx, означающее, что решение уравнения (6)–(7) всегда содержится в решении уравнения, получаемого из теоремы Апостолатоса-Кулиша. Из сказанного также следует, что оценки точности новой версии формального подхода не хуже, чем у традиционных, т.е. имеют первый порядок точности в зависимости от размеров множества решений [12]. 193
Список литературы [1] Г. Алефельд, Ю. Херцбергер Введение в интервальные вычисления. Москва: Мир, 1987. [2] Интервальный анализ и его приложения. – Веб-сайт http://www.nsc.ru/interval [3] С.А. Калмыков, Ю.И. Шокин, З.Х. Юлдашев Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1986. [4] С.П. Шарый Алгебраический подход к анализу линейных статических систем с интервальной неопределённостью. – Известия Академии Наук. Теория и системы управления, 1997, №3, с. 51–61. [5] С.П. Шарый Алгебраический подход во «внешней задаче» для интервальных линейных систем. – Вычислительные Технологии, 1998, т. 3, №2, с. 67–114. [6] N. Apostolatos, U. Kulisch Grundzüge einer Intervallrechnung für Matrizen und einige Anwendungen. – Electron. Rechenanl., 1968, Bd. 10, S. 73–83. [7] A. Berman, R.J. Plemmons Nonnegative matrices in the mathematical sciences. New York: Academic Press, 1979. [8] E. Hansen On linear algebraic equations with interval coefficients. – В кн.: Topics in Interval Analysis / E. Hansen, ed. – Oxford: Clarendon Press, 1969, p. 35–46. [9] E. Kaucher Interval analysis in the extended interval space IR. – В кн.: Fundamentals of numerical computation (Computer-oriented numerical analysis) / G. Alefeld, R.D. Grigorieff, eds. Computing Supplement 2. Wien: Springer, 1980, p. 33–49. [10] R. B. Kearfott, M. Nakao, A. Neumaier, S. Rump, S. P. Shary, P. van Hentenryck Standardized notation in interval analysis. – В кн.: Труды XIII Байкальской международной школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения», Иркутск- Северобайкальск, 2–8 июля 2005 г. Том 4 «Интервальный анализ». Иркутск: <strong>ИСЭМ</strong>, 2005, с. 107–113. [11] C. Miranda Un’ osservatione su un teorema di Brouwer. – Boll. Un. Mat. Ital. Serie II, 1940, т. 3, с. 5–7. [12] A. Neumaier Interval methods for systems of equations. Cambridge: Cambridge University Press, 1990. [13] M.A. Sainz, E. Gardeñes, L. Jorba Formal solution to systems of interval linear or nonlinear equations. – Reliable Computing, 2002, vol. 8, p. 189–211. [14] M.A. Sainz, E. Gardeñes, L. Jorba Interval estimations of solution sets to real-valued systems of linear or non-linear equations. – Reliable Computing, 2002, vol. 8, p. 283–305. [15] S.P. Shary A new technique in systems analysis under interval uncertainty and ambiguity. – Reliable Computing, 2002, vol. 8, №5, p. 321–418. (Электронная версия статьи доступна на http://www.nsc.ru/interval/shary/Papers/ANewTech.pdf) 194
Page 2 and 3:
Российская академи
Page 4 and 5:
Russian Academy of Sciences (RAS) R
Page 6 and 7:
СОДЕРЖАНИЕ Абдулли
Page 8 and 9:
ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ
Page 10 and 11:
W2,0 S = {x ∈ W1,0 V : f 1 (x)
Page 12 and 13:
при W 0 ≠ ∅ и f 1 W 0 ⊂ G
Page 14 and 15:
Список литературы [
Page 16 and 17:
О ДВУХ ПОДХОДАХ К П
Page 18 and 19:
2. Ниже рассматрива
Page 20 and 21:
то Случай N = 2, L 1 > 0, L
Page 22 and 23:
СРАВНЕНИЕ АЛГОРИТМ
Page 24 and 25:
Совершенно другой
Page 26 and 27:
а) б) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2
Page 28 and 29:
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ВЫР
Page 30 and 31:
4. Пучок матриц λA(t, x
Page 32 and 33:
Page 34 and 35:
Определение 1. Матр
Page 36 and 37:
Достаточные услови
Page 38 and 39:
Список (17) содержит
Page 40 and 41:
[8] B.E.Cain Real, 3 × 3 D-stable
Page 42 and 43:
12 2 2 3 2 4 2 5 2 = −∆ 2 5 −
Page 44 and 45:
О СВОЙСТВАХ КОНЕЧН
Page 46 and 47:
Из определения 2 сл
Page 48 and 49:
где E ρn ( + λ(E ρn − AA
Page 50 and 51:
где c 1 = (E−A − 0 A 0 )c
Page 52 and 53:
( ) ( ) ( ) x2 − x F 1 (x) = 2 1
Page 54 and 55:
дополнение. Тогда о
Page 56 and 57:
6. Заключение Иссле
Page 58 and 59:
ON THE PROPERTIES OF FINITE-DIMENSI
Page 60 and 61:
где dσ - элемент пло
Page 62 and 63:
Таким образом, сист
Page 64 and 65:
т.е. P - это соприкас
Page 66 and 67:
в которых равномер
Page 68 and 69:
абсолютные значени
Page 70 and 71:
МЕТОД НОРМАЛЬНЫХ С
Page 72 and 73:
значения изображен
Page 74 and 75:
матрицей Грама кан
Page 76 and 77:
узлов на каждой. По
Page 78 and 79:
МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВА
Page 80 and 81:
водить теоретическ
Page 82 and 83:
циально-алгебраиче
Page 84 and 85:
К системе (9) примен
Page 86 and 87:
[4] В.В. Дикуcap. Метод
Page 88 and 89:
где I(x(t)) = ∫ T t 0 a t−t
Page 90 and 91:
Заметим, что (6)-(13) -
Page 92 and 93:
1.4 1.2 1 y 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 2 3
Page 94 and 95:
Потребуем Дифферен
Page 96 and 97:
ON DEVELOPING SYSTEMS MODELS I.V. K
Page 98 and 99:
очень затруднитель
Page 100 and 101:
Теорема 1.3. Пусть пу
Page 102 and 103:
Далее по формулам,
Page 104 and 105:
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ОП
Page 106 and 107:
Покажем единственн
Page 108 and 109:
Для завершения док
Page 110 and 111:
где U Nν (t) = 1 ∫ 2πi γ (
Page 112 and 113:
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ
Page 114 and 115:
Количественные и к
Page 116 and 117:
Рис. 1: Изменение ск
Page 118 and 119:
THE NUMERICAL SOLUTION FOR ONE PROB
Page 120 and 121:
Определение 2. [1] Со
Page 122 and 123:
Далее нетрудно сос
Page 124 and 125:
Далее подействуем
Page 126 and 127:
Page 128 and 129:
поле описывается у
Page 130 and 131:
∑ ∫ (u kl − u 0 kl) (k,l)∈D
Page 132 and 133:
5. Численный экспер
Page 134 and 135:
к тому, что первый п
Page 136 and 137:
умноженную на любо
Page 138 and 139:
1) p < 2 √ r; 2) p 2 √ r. В
Page 140 and 141:
V 1 (z) , доставляющие
Page 142 and 143:
[8] Курош А.Г. Курс вы
Page 144 and 145: порядка точности п
Page 146 and 147: где k 1 и k 2 вычисляю
Page 148 and 149: меньше последнего
Page 150 and 151: жесткая для явных м
Page 152 and 153: AN ALGORITHM BASED ON THE SECOND OR
Page 154 and 155: распознавание, мин
Page 156 and 157: Пусть A i (δ) - интерв
Page 158 and 159: как алгоритмы рабо
Page 160 and 161: где оператор Φ(V, λ)
Page 162 and 163: Подставляя получен
Page 164 and 165: IMPLICIT FUNCTION THEOREM IN SECTOR
Page 166 and 167: локальной выборки,
Page 168 and 169: ˜z (1) k на опорном из
Page 170 and 171: где g - отношение си
Page 172 and 173: [4] Самойлов М. Ю. Опт
Page 174 and 175: K(t) = A + ∫ t 0 k(s)ds. Теор
Page 176 and 177: при i = 1, . . . , n. По та
Page 178 and 179: Из представления ˜B
Page 180 and 181: поэтому условия со
Page 182 and 183: О СВОЙСТВАХ ВЫРОЖД
Page 184 and 185: Продифференцируем
Page 186 and 187: [3] Булатов М.В. Числ
Page 188 and 189: реальных постаново
Page 190 and 191: Обычные интервалы
Page 192 and 193: 3. Вычисление форма
Page 196 and 197: YET ANOTHER VERSION OF FORMAL APPRO
Page 198 and 199: специального вида (
Page 200 and 201: s k = 0, при k < 0 или k > n.
Page 202 and 203: Шаг 2. Найти (оценит
Page 204 and 205: THE TOLERABLE SOLUTION SET OF INTER
Page 206 and 207: Obviously function F x (η) is posi
Page 208 and 209: О НЕПРЕРЫВНОМ РЕШЕ
Page 210 and 211: Forh ∈ (0, h 0 ], letx k = a + kh
Page 212 and 213: The region is the intersection of t
Page 214 and 215: 6. Conclusions. A block-type family
Page 216: ТРУДЫ секции "Вычис
show all

Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?