Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ВНУТРЕННЕЙ БАЛЛИСТИ-
КИ 1
Л.В. Кошкарева
Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск
e-mail: lvk_home@mail.ru
Аннотация. В статье рассмотрена задача Коши для квазилинейных дифференциальноалгебраических
уравнений индекса один. Предлагается проводить редукцию к системам
обыкновенных дифференциальных уравнений, для численного решение которых применять
явные линейные многошаговые методы. Для численных расчетов рассмотрена основная задача
внутренней баллистики.
Ключевые слова: дифференциально-алгебраические уравнения, индекс один, линейные
многошаговые методы, основная задача внутренней баллистики.
Введение
Большое количество прикладных задач описывается взаимосвязанными системами
обыкновенных дифференциальных и конечномерных уравнений. Такие задачи, как
правило, записывают в виде системы дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей
перед производной и называют дифференциально-алгебраическими уравнениями
(ДАУ). К такому классу задач относится система, описывающая процессы основного
периода движения снаряда в стволе после выстрела. Численные методы решения таких
задач принципиально отличаются от алгоритмов интегрировавния обыкновенных дифференциальных
уравнений. В данной работе предложены явные линейные многошаговые
методы для численного решения рассматриваемого класса задач. Приведены результаты
расчетов давления пороховых газов p(t), скорости снаряда v(t), как функций независимого
аргумента время t.
1. Постановка задачи
Рассмотрим систему дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ) вида
A(t)x ′ (t) = f(x(t), t), t ∈ [0, 1], x(0) = a, (1)
где A(t)−(n×n) матрица, f(x(t), t)−n−мерная вектор-функция, x(t)−n−мерная искомая
вектор функция. В работе рассмотрен случай, когда матрица A(t)− вырожденная, т.е.
det A(t) = 0 ∀t ∈ [0, 1].
Предполагается, что rankA(t) = k = const и в некоторой окрестности точки (0, a)
выполнено условие
det(λA(t) + ∂f(x, t)/∂x) = a k (x, t)λ k + a k−1 (x, t)λ k−1 + · · · + a 0 (x, t)
1 Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ НШ-1676.2008.1.
111