Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

О СВОЙСТВАХ ВЫРОЖДЕННЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ИНДЕКСА 2 1
Е.В.Чистякова
Институт динамики систем и теории управления, Иркутск
email: elena.chistyakova@icc.ru
Аннотация. В настоящей работе проводится исследование интегро-дифференциальных систем
с тождественно вырожденной матрицей перед производной искомой вектор-функции. Исследование
основано на особых свойствах матричных полиномов, составляющих исходную систему.
Доказана теорема существования, предложен и обоснован численный метод поиска решения.
Ключевые слова: интегро-дифференциальные уравнения, индекс, пучок матриц.
1. Постановка задачи и теорема существования
Рассматриваются системы интегро-дифференциальных уравнений вида
с начальными условиями
A(t)ẋ(t) + B(t)x(t) +
∫ t
0
K(t, s)x(s)ds = f(t), ∈ [0, 1] = T, (1)
x(0) = x 0 . (2)
Здесь A(t), B(t), K(t, s) – некоторые (n × n)-матрицы, f(t) – неизвестная, x(t) – искомая
вектор-функция, x 0 – заданный вектор из R n . Кроме того, для системы (1) выполнено
условие
det A(t) = 0 ∀t ∈ T. (3)
Под решением системы (1) мы будем понимать любую непрерывно-дифференцируемую
вектор-функцию x(t) , которая обращает исходную систему в тождество. Результаты исследований
задачи (1), (2), основанные на применении свойств однопараметрического пучка
матриц вида λA(t) + B(t) , где λ – некоторый параметр (в общем случае комплексный),
подробно изложены в [1, 2, 3]. В настоящей работе проводится исследование систем (1)
на основе особых свойств матричных полиномов вида λA(t) + µB(t) + K(t, t). Результаты,
касающиеся существования решения и сходимости численного метода, были впервые
анонсированы без доказательства в [5].
Приведем ряд вспомогательных определений и утверждений.
Определение 1.[2] Ненулевой многочлен det [λA(t) + B(t)] удовлетворяет критерию
"ранг-степень", если выполнены условия:
1. rank A(t) = r = const ∀t ∈ T ;
2. det [λA(t) + B(t)] = a 0 (t)λ r + . . . , причем a 0 (t) ≠ 0 ∀t ∈ T .
Следует отметить, что кроме термина «ранг-степень» также употребляют термин «простая
структура», который чаще всего используют для матричных полиномов. Кроме того,
1 Работа поддержана грантом РФФИ, проект № 07-01-90000 и грантом Президента РФ НШ-1676.2008.1
181