Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

( ) ( ) ( )
x2 − x
F 1 (x) = 2 1 0 x2 − x
+ q
0
1
x 2 = 2 1
∂ ∂
= 0, q
2 2c 2,1 x 1 = c 1,1 + c 2,1 .
2 ∂x 1 ∂x 2
( )
( )
−2x1 1
0 1
, det A
0 2c 1 (0) =
2,1 0 2c 2,1
Здесь A 1 (x) =
шагу.
Шаг 2.
= 0. Переходим ко второму
( ) ( ) ( )
1 0 1 0
0 0
Y 2 =
, R
−2c 2,1 1 1 = , S
0 0 1 =
,
−2c 2,1 1
( ) ( ) ( )
x2 − x
F 2 (x) = 2 1
0
x2 − x
+ q
0
2
2c 2,1 x 2 = 2 1
∂ ∂
= 0, q
1 4c 1,2 c 2,1 x 2 = c 1,2 + c 2,2 .
1 ∂x 1 ∂x 2
( )
−2x1 1
Здесь A 2 (x) =
, det A
4c 1,2 c 2,1 0
2 (0) = −4c 1,2 c 2,1 ≢ 0. Кратность решения системы по
определению 6 равна 3.
Вычислим кратность, используя теорему 1. Образуем матрицы по формулам (18), (19):
( ) ( ) ( )
−2x1 1
−2c1,1 0
0 0
α 0 (x) =
, α
0 2x 1 (x) =
, α
2 0 2c i (x) = , i = 2, 3, . . . ,
2,1 0 0
( )
( )
−2c1,1 λ
−2c1 λ λ
det A 1 (λ) =
= −4c
0 2c 1,1 c 2,1 , det A 2 (λ) =
2
= −4c
2,1 0 2c 2 λ
1,1 c 2,1 λ 2 .
Матрица A 1 (λ) не удовлетворяет ДС, а матрица A 2 (λ) удовлетворяет ДС. Следовательно,
кратность решения системы в смысле определения 6 равна 3.
Кратность не инвариантна к заменам, сводящих исходную систему к системе, у которой
компоненты являются многочленами не выше второй степени и пока не установлено формулы,
связывающей исходную кратность решения с кратностью решения системы после
замены.
4. Сравнение подходов к определению кратности
Обсудим некоторые известные подходы к определению количественных характеристик
кратности и сделаем сопоставления. Вначале коснемся связи введенных понятий с классическим
понятием кратности, используемым в алгебраической геометрии. В общем случае
кратность определяется как размерность некоторой локальной алгебры отображения F
в нуле [15, c. 66]. При определенных предположениях кратность можно вычислить, как
степень отображения некоторой малой сферы в сферу той же размерности [15, c. 75]. В
силу сложности этих процедур установить прямые связи между классическим и нашим
определениями в прямой форме не получается. Их можно лишь сравнить на эталонных
отображениях. Для этого выберем отображение Фама
F (x) = (x m 1
, x m 2
, · · · , x mn ) ⊤ . (27)
В книге [15, c. 75] показано, что малой деформацией отображения (27) можно получить
любой конечнократный росток. Кратность (индекс) в алгебраической геометрии
отображения (27) равны произведению m 1 m 2 · · · m n , а левая и правая кратности равны
max{m j , j = 1, 2, · · · , n}. Раскроем при i = k произведение операторов из формул (5)
L k = L k · · · L 2 L 1 =
∑
0j 1 +j 2 +···+j n k
51
L j1 ,j 2 ,··· ,j n
∂ j 1+j 2 +···+j n
∂ j 1 ∂
j 2 · · · ∂
j n
, (28)