Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

где оператор Φ(V, λ) имеет вид
Φ(V, λ) ≡ V − 1
a(λ) F x
−1 (0, λ)F (a(λ)V, λ).
Нетрудно видеть, что оператор Φ(V, λ) при λ ∈ S, ‖V ‖ r 0 r является сжатием. Действительно,
применяя формулу конечных приращений Лагранжа и условие 3) теоремы,
получим цепочку неравенств
‖Φ(V 1 , λ)−Φ(V 2 , λ)‖ ‖Fx
−1 (0, λ)‖
CL
∫ 1
0
∫ 1
0
‖F x (0, λ)−F x (a(λ)(V 2 +Θ(V 1 −V 2 )), λ)‖ dΘ ‖(V 1 −V 2 )‖
{
}
‖V 2 ‖ + Θ(‖V 1 ‖ + ‖V 2 ‖) dΘ ‖V 1 − V 2 ‖ 2CLr 0 ‖V 1 − V 2 ‖,
здесь C, L – const. Выберем r 0 < 1
2CL , тогда оператор Φ(V, λ) при λ ∈ S и ‖V ‖ r 0 будет
сжатием.
Более того при достаточно малых λ в силу оценки 4) оператор Φ(V, λ) переводит шар
‖V ‖ r 0 в себя. Действительно,
‖Φ(V, λ)‖ ‖Φ(V, λ)−Φ(0, λ)‖+‖Φ(0, λ)‖ qr 0 + 1 −1
‖Fx (0, λ)F (0, λ)‖ qr 0 + C 1
‖F (0, λ)‖
a(λ) a 2 (λ)
Далее, в силу условия 4), можно выбрать множество S 0 ⊂ S так, что при ∀λ ∈ S 0 будет
выполнено C 1
‖F (0, λ)‖ (1 − q)r a 2 (λ) 0.
Поэтому на основании принципа сжимающих отображений операторное уравнение (2)
имеет единственное решение V (λ) → 0 при λ → 0. Возвращаясь к переменной x получаем,
что уравнение (1) имеет малое непрерывное решение, вообще говоря, не единственное.
Теорема доказана.
Если F x (0, 0) ≠ 0, то следующий результат позволяет в приложениях ослаблять условие
4) теоремы 1.
Теорема 2. Пусть выполнены условия 1) − 3) теоремы 1 и пусть выполнено условие:
5) линейное уравнение F x (0, 0)x = F (0, λ), где λ ∈ S, имеет решение x ∗ (λ), причем выполнены
оценки ‖x ∗ (λ)‖ = o(a(λ)) и ‖F x (0, 0) − F x (0, λ)‖ = O(a(λ)) при λ ∈ S.
Тогда найдется число r 0 ∈ (0, r) и секториальная квазиокрестность нуля S 0 ⊂ S
такие, что для каждого λ ∈ S 0 уравнение (1) имеет в шаре ‖x‖ a(λ)r 0 непрерывное
решение x(λ) → 0 при S 0 ∋ λ → 0.
Доказательство. Уравнение (1) с помощью замены x = a(λ)V приводится к эквивалентному
уравнению (2).
Сжимаемость оператора Φ(V, λ) вытекает из условий 1)-3). (см. док-во теоремы 1).
Покажем, что при достаточно малых λ ∈ S 0 ⊂ S, оператор Φ(V, λ) переводил шар ‖V ‖ r 0
в себя. Действительно, в силу условия 5) имеем цепочку неравенств
= qr 0 + 1
∥
a(λ)
‖Φ(V, λ)‖ qr 0 + 1 −1
‖Fx (0, λ)F (0, λ)‖ =
a(λ)
{
}
x (0, λ) F x (0, 0) − F x (0, λ) + F x (0, λ) x ∗ ∥
(λ)
∥F −1
159
∥ qr 0 +
C
a(λ) ‖x∗ (λ)‖