Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

Утверждение 1.Пусть для итерационного процесса (1) с x ∗ 1 < x p < x ∗ 2 при некотором
k 0 выполняется неравенство
Тогда Vk+1,0 W = ∅, W k+2,0 V = ∅, V k
W
при k нечетных
α k < min
[x p ,b] f 2(x) α k−1 . (4)
= V (S,G)
k+1 , W V k+1 = W (S,G)
k+2
и при k четных
P (x ∗ 1) = S ∪ V S
1 ∪ W S 2 ∪ . . . ∪ V S
k−1 ∪ W S k ∪ V W
k ∪ W V k+1, (5)
P (x ∗ 2) = G ∪ W G 1
∪ V2 G ∪ . . . ∪ Wk−1 G ∪ Vk
G ∪ Wk+1;
G
P (x ∗ 1) = S ∪ V S
1 ∪ W S 2 ∪ . . . ∪ V S
k ∪ W S k+1, (6)
P (x ∗ 2) = G ∪ W G 1
∪ V G
2 ∪ . . . ∪ V G
k−1 ∪ W G k
Если при некотором k 0 выполняется неравенство
∪ V W
k
∪ W V k+1.
β k−1 < max
[a,x p] f 1(x) β k , (7)
то W V k+1 = ∅, V W
k+2 = ∅, W V k = W (S,G)
k+1 , V W
k+1 = V (S,G)
k+2
и при k четных
при k нечетных
P (x ∗ 1) = S ∪ V S
1 ∪ W S 2 ∪ . . . ∪ V S
k−1 ∪ W S k ∪ V S
k+1, (8)
P (x ∗ 2) = G ∪ W G 1
∪ V G
2 ∪ . . . ∪ W G k−1 ∪ V G
k ∪ W V k ∪ V W
k+1;
P (x ∗ 1) = S ∪ V S
1 ∪ W S 2 ∪ . . . ∪ W S k−1 ∪ V S
k ∪ W V k ∪ V W
k+1, (9)
P (x ∗ 2) = G ∪ W G 1
∪ V G
2 ∪ . . . ∪ V G
k−1 ∪ W G k
∪ V W
k
∪ W V k+1.
Доказательство. Пусть выполнено неравенство (4). Тогда β k+1 = b и существует β k < b.
Отсюда и f 1 [a, b] ⊂ (a, b) следует α k+2 = a. На (x p , β k ) выполняется неравенство f 2 (x) >
α k−1 , поэтому (x p , β k ) состоит только из подмножеств множеств G, V (S,G)
1 , . . . , V (S,G)
k
. На
промежутке [β k , b] по условиям (3) и (4) выполняется неравенство α k < f 2 (x) < x. Так как
на (α k , x p ] f 1 (x) < β k−1 , то (α k , x p ] состоит только из подмножеств множеств S, W (S,G)
1 , . . . ,
W (S,G)
k−1
, W (S,G)
k
. Следовательно, из [β k , b] возможны только переходы в эти подмножества,
поэтому Vk+1,0
W = ∅ и V k
W = V (S,G)
k+1 , а также W k+2 V = ∅ и W k+1 V = W (S,G)
k+2
. Отсюда, по
построению множеств W (S,G)
i и V (S,G)
i , следует, что области притяжения P (x ∗ 1) и P (x ∗ 2) при k
четных определяются соотношениями (5), а при k нечетных определяются соотношениями
(6). При этом P (x ∗ 1) ∪ P (x ∗ 2) = [a, b]. Доказательство для случая выполнения неравенства
(7) проводится аналогичным образом.
Условие (4) связано с пересечениями f 2 V 0 с S и W (S,G)
i
f 1 W 0 с G и V (S,G)
i .
, а условие (7) с пересечениями
Следствие 1. Пусть для итерационного процесса (1) с x ∗ 1 < x p < x ∗ 2 хотя бы одно из
множеств W 0 , V 0 не пусто, тогда:
10