Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

Более того, если z [0] = (z [0]
1 , z [0]
2 , · · · , z [0]
n ) ⊤ ∉ {z : M(z) = 0}, то имеют место соотношения
z [j+1]
i
= q i,j z [j]
i , |q i,j − θ i | → 0, j → ∞
.
Доказательство. Очевидно, что для последней компоненты в (34) имеем θ n = 1/2,
z n [j] = (1/2) j z n [0] . Из (34) следует, что
z [j+1]
n−1
= z [j]
n−1/2 + z [0]
n (1/2) j /4z [j]
n−1.
Полагая z [j]
n−1 = θn−1z j n−1, [0] θ n−1 = (±1/ √ 2), получаем необходимую связь между начальными
данными 2(z [0]
= 0 (компоненту вектор-функции M(z)). Дальнейшие
n−1) 2 (± √ 2−1)−z n
[0]
рассуждения очевидны. Для того, чтобы доказать соотношения |q i,j − θ i | → 0, j → ∞,
для случая когда, начальные данные процесса (34) не лежат на нужном многообразии.
Для определенности пусть θ n−1 = (1/ √ 2). Произведем замену z [j]
n−1 = ( √ 2) j ξ j . Получим
последовательность
ξ j+1 = ( √ 2/2)ξ j + z [0]
n /4ξ j ,
Неподвижная точка отображения ξ = ψ(ξ) = ( √ 2/2)ξ + z n [0] /4ξ здесь определяется из
равенства ξ 2 (1 − √ 2/2) = z n [0] /4. Производная dψ(ξ)/dξ в неподвижной точке не зависит
от начальных данных. Ее модуль равен числу | √ 2 − 1| < 1. Дальнейшие рассуждения
аналогичны. Лемма доказана.
Для исходной системы (26) скорость сходимости метода Ньютона при сделанных предположениях
определяется величиной θ 1 .
В общем случае скорость сходимости зависит для систем (26) от сочетания индексов
пучков матриц λG + A 1j , где A 1j = ∂A 0 (x)/∂x j , j = 1, 2, · · · , n, A 0 (x) = G + ∂H(x)/∂x.
Рассмотрен ряд случаев при n = 2, 3. Оказалось, что константы, определяющие скорость
сходимости, являются корнями некоторых квадратных и кубических уравнений соответственно.
Для произвольных систем вида (1) ситуация еще сложнее. Рассмотрим пример, указанный
профессором J.Sand’ом
F (x) = (x m 1 − x l 2 = 0, x k 2 = 0) ⊤ .
где m, l, k− натуральные. Применяя (32), получим итерационный процесс
x [j+1]
1 = µx [j]
1 + νx [lj]
2 /x [(m−1)j]
1 , x [j+1]
2 = κx [j]
2 ,
где µ = (m − 1)/m, κ = (k − 1)/k, ν = (k − l)/km. Если начальные данные удовлетворяют
условию (x [0]
1 ) m (ρ − µ) = ν(x [0]
2 ) l , ρ = κ l/m , то мы формально получаем сходимость
по первой компоненте в виде геометрической прогрессии x [j+1]
1 = x [0]
1 ρ j ρ = κ l/m . Но эти
последовательности не всегда являются устойчивыми. В частности, если µ/ρ > 1, устойчивой
является другая последовательность вида x [j+1]
1 = µx [j]
1 . Это было выявлено при
численных экспериментах.
В заключение параграфа подчеркнем, что в работе не ставился вопрос о восстановлении
квадратичной сходимости. По этому вопросу есть обширная литература (си. например
[5])
54