Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

5. Численный эксперимент
Тестирование метода произведено на модельных задачах для цилиндрически-слоистых
и горизонтально-слоистых сред, которые допускают решение методом разделения переменных.
Продемонстрируем результаты экспериментов, полученные при решении модельной
задачи для трехслойной цилиндрически-слоистой среды в квазистационарном приближении.
Удельное сопротивление ρ(r) = 1/σ(r) зависит только от радиуса
⎧
⎨ ρ t , r < r t ,
ρ(r) = ρ iz , r < r iz ,
⎩
ρ m , r r iz .
Здесь r t – радиус скважины, r iz – радиус зоны проникновения, ρ t , ρ iz , ρ m – удельные
сопротивления скважины, зоны проникновения и вмещающей среды соответственно. В
качестве источника рассматривается кольцо с электрическим током, центр которого лежит
на оси Oz. Оно имеет радиус r 0 и расположено в плоскости z = 0.
Тестовое решение такой модельной задачи строится с использованием преобразования
Фурье по координате z [4]. Численная реализация обратного преобразования Фурье
осуществляется методом, изложенным в [2]. Это решение сравнивается с двумя другими
численными решениями этой же задачи, которые получены с использованием различных
граничных условий. Для области D 1 с малым радиусом r 2 используется интегродифференциальное
граничное условие на границе Γ 2 (сплошная линия). Для области D 2
с достаточно большим радиусом r 2 на границе Γ 2 используется приближенное однородное
условие Дирихле (пунктирная линия). Вертикальные размеры областей выбираются
достаточно большими. В обоих случаях на верхней и нижней границах предполагаются
выполненными приближенные однородные условия Дирихле. На графиках показана вычислительная
погрешность полного поля E ϕ вдоль оси скважины при заданном радиусе r
в зависимости от расстояния z между приемной и передающей катушками.
Рис. 1: Значения погрешности |∆Eϕ|
|E ϕ |
% (слева) и |∆ arg E ϕ | 0 (справа) при r = 0.03 м на отрезке
z ∈ [0.1, 0.8] м; r 0 = 0.03м, f = 16 МГц, r t = 0.1 м, r iz = 0.5 м, ρ t = 256 Ом · м,
ρ iz = 64 Ом·м, ρ m = 16 Ом·м, D 1 = [0, 0.86] м×[−4.8, 5.7] м, D 2 = [0, 9.4] м×[−4.7, 5.5] м
Эксперименты проведены для различных параметров k 2 (r) = iωµ , ω = 2πf. Сетка
ρ(r)
строится равномерной вблизи источника, и по мере удаления от источника шаг сетки
увеличивается. Величина шага в окрестности источника выбирается в зависимости от
131