Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ В
БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
М.В.Фалалеев
Иркутский государственный университет, Иркутск
e-mail: mihail@ic.isu.ru
Аннотация. В работе на примере двух начально-краевых задач прикладного характера
проиллюстрировано применение теории фундаментальных оператор-функций вырожденных
интегро-дифференциальных операторов в банаховых пространствах к исследованию неклассических
уравнений математической физики.
Ключевые слова: банахово пространство, фредгольмов оператор, распределение, фундаментальная
оператор-функция.
Постановка задачи
Рассматривается задача Коши вида
B ˙u = Au +
∫ t
0
k(t − s)u(s)ds + f(t), (1)
u(0) = u 0 , (2)
для которой будем предполагать выполненным условие:
(C) B, A, k(t) – замкнутые линейные операторы из E 1 в E 2 , E 1 , E 2 – банаховы
пространства, D(A) ⋂ D(k) = D(B) = E 1 , D(k) – не зависит от t, D(B) ⊂ D(A) ⋂ D(k),
R(B) = R(B), k(t) – сильно непрерывна на D(k), k(t) ∈ C ∞ (t 0), B – фредгольмов,
f(t) – достаточно гладкая функция со значениями в E 2 .
Фундаментальные оператор-функции вырожденных интегро-дифференциальных
операторов.
Известно, что задачи вида (1)–(2) разрешимы в классе непрерывных функций (т.е. имеют
классические решения) лишь при определенных соотношениях между входными данными
u 0 и f(t). При нарушении таких соотношений задача уже не имеет гладких решений,
но разрешима (причем однозначно) в классе обобщенных функций с ограниченным слева
носителем K +(E ′ 1 ). Единственность обобщенного решения из K +(E ′ 1 ), равно как и формулы
для его восстановления были получены в [1] с помощью конструкции фундаментальной
оператор-функции для интегро-дифференциального оператора (Bδ ′ (t) − Aδ(t) − k(t)θ(t)).
Приведем соответсвующее утверждение из [1].
Введем обозначения Γ – оператор Шмидта [2] для B,
R 1 (t) – резольвента ядра g(t),
g(t) =
∫ t
M(t) = R 1 (t) + AΓe AΓt +
0
k(t − s)Γe AΓs ds,
172
∫ t
0
AΓe AΓ(t−s) R 1 (s)ds,