Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

строим его резольвенту
R 1 (t) = − 2 √
3
e − t 2 sin
(√
3
2 t )
(I − Q),
реконструируем функцию
M(t) = R 1 (t) − AΓe −AΓt −
= Qe t − e − t 2
∫ t
[ (√ )
1 3 √3 sin
2 t + cos
0
AΓe −AΓ(t−s) R 1 (s)ds =
(√
3
2 t )]
(I − Q)
и для ядра −QM ′ (t) = −e t Q находим его резольвенту N 1 (t) = −Q.
Таким образом, по теореме
(
E(t) = Γe −AΓt θ(t) ∗ Iδ(t) − √ 2 (√ ) )
e − t 3
2 sin 3 2 t (I − Q)θ(t) ∗
= Γδ(t) ∗
[
(
) {
}
∗ Iδ(t) − Qθ(t) ∗ (I − Q)δ(t) − Qδ ′ (t) =
( (√ ) (√ )) ]
−Qδ(t) − e − t 1 3
3
2 √3 sin
2 t − cos
2 t (I − Q)θ(t)
полностью восстанавлена фундаментальная оператор-функция. Тогда обобщенное решение
имеет вид
(
˜x(t) = E(t) ∗ B¯x 0 δ(t) + ¯f(t)θ(t)
)
,
здесь
или
˜x(t) = Γ
[
− ¯f(t) − e − t 2
⎛
¯f(t) =
⎜
⎝
0
0
y(t)
0
0
⎞
⎟
⎠ ,
( (√ ) (√ ))
1 3
3
√3 sin
2 t − cos
2 t B¯x 0
]θ(t),
т.е. обобщенное решение ˜x(t) не содержит сингулярной составляющей и оно совпадает с
классическим решением, если ˜x(0) = ¯x 0 или
¯x 0 = ˜x(0) = Γ(B¯x 0 − ¯f(0)).
Но
⎛
ΓB = I − 1 8 ⎜
⎝
5 1 −2 1 −3
1 5 −2 −3 1
−2 −2 4 −2 −2
1 −3 −2 5 1
−3 1 −2 1 5
⎞
⎟
⎠ ,
178