Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

единственное непрерывное решение. Теорема доказана.
Через точки, в которых нарушается третье условие теоремы, может проходить
несколько решений. Эти точки будем называть сингулярными.
Для n = 1 условия теоремы означают, что мы имеем интегральное уравнение типа
Вольтерра I рода:
с условиями
∫ t ∫ x
0 0
K(t, x, τ, s)u(τ, s)dτds = f(t, x) (6)
f(t, 0) = f(0, x) = 0,
min |K(t, x, t, x)| = k ≠ 0.
t,x∈Ω
2. Численный метод
Наложим на прямоугольник Ω равномерную сетку
t i = ih, i = 1, 2, 3, ..., N, h = a/N,
и обозначим
x j = jq, j = 1, 2, 3, ..., M, q = b/M
A ij = A(t i , x j ), f ij = f(t i , x j ), K ijlm = K(t i , x j , t l , x m ), t l t i , x m x j ,
u ij − приближенное значение u(t i , x j ).
Применяя для интегрального слагаемого (1) кубатурную формулу правых прямоугольников,
получим системы линейных алгебраических уравнений:
A ij u ij + h
i∑
l=1
q
j∑
m=1
K ijlm u lm = f ij (7)
i = 1, 2, ..., N, j = 1, 2, ..., M.
Относительно сходимости метода (7) отметим следующее. Если элементы матрицы
K(t, x, τ, s) ∈ C 3 в области 0 τ t a, 0 s x b и выполнены уcловия 1, 3 и 4
теоремы, то справедлива оценка
||u(t i , x j ) − u ij || = O(h + q)
Доказательство этого факта основано на лемме и на неравенствах для двумерных
ИУВ I рода [3].
30