Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНОМ ОПЕРАТОРЕ В СЕКТОРИАЛЬНЫХ КВАЗИО-
КРЕСТНОСТЯХ И МИНИМАЛЬНЫЕ ВЕТВИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Н.А. Сидоров, Р.Ю. Леонтьев
Институт математики, экономики и информатики ИГУ, Иркутск
e-mail: sidorov@math.isu.runnet.ru, lev_roma@bk.ru
Аннотация. Рассматривается нелинейное операторное уравнение F (x, λ) = 0 с условием
F (0, 0) ≡ 0. Оператор F x (0, 0) не является непрерывно обратимым. Строятся непрерывные
решения x(λ) → 0 при λ → 0 в открытом множестве S линейного нормированного пространства
Λ. Нуль принадлежит границе множества S. Доказанные теоремы существования решений
иллюстрируются примерами.
Ключевые слова: секториальная квазиокрестность, банахово пространство, нелинейное
операторное уравнение, линейное нормированное пространство, двухточечная краевая задача,
теорема о неявном операторе
Пусть X, Y – банаховы пространства, Λ – линейное нормированное пространство. Рассматривается
нелинейное операторное уравнение
F (x, λ) = 0, (1)
где F : X ⊕ Λ → Y , F (0, 0) ≡ 0, оператор F x (0, 0) не является непрерывно обратимым.
В работе, продолжающей исследования [1], [2], доказано существование непрерывных решений
уравнения x(λ) → 0 при λ → 0 в секториальной квазиокрестности нуля и дан
способ их построения. Результатом работы являются теоремы существования минимальных
ветвей максимального порядка малости решений нелинейных уравнений и дополняют
результаты [1].
Определение 1. Секториальной квазиокрестностью точки 0 ∈ Λ будем называть
открытое множество S ⊂ Λ, такое что 0 ∈ ∂S.
Далее пусть a(λ) некоторая функция a(λ) : S → R + , a(λ) → 0 при S ∋ λ → 0. Вводится
множество Ω = {(x, λ) ∈ X ⊕ Λ, ‖x‖ a(λ)r, λ ∈ S}, где r > 0. Доказаны следующие
теоремы.
Теорема 1. Пусть в Ω выполнены условия: 1) оператор F (x, λ) непрерывен по x и
λ и имеет частную производную Фреше F x (x, λ), непрерывную по x и λ; 2) F (0, 0) = 0,
оператор F x (0, λ) непрерывно обратим при λ ∈ S, причем ‖Fx −1 (0, λ)‖ = O( 1 ); a(λ)
3) ‖F x (x, λ) − F x (0, λ)‖ L‖x‖; 4) ‖F (0, λ)‖ = o(a 2 (λ)).
Тогда найдется число r 0 ∈ (0, r) и секториальная квазиокрестность нуля S 0 ⊂ S
такие, что для каждого λ ∈ S 0 уравнение (1) имеет в шаре ‖x‖ a(λ)r 0 непрерывное
решение x(λ) → 0 при S 0 ∋ λ → 0.
Доказательство. Уравнение (1) с помощью замены x = a(λ)V приводится к эквивалентному
уравнению
V = Φ(V, λ), (2)
158