Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

в) если det A(t, x) вырождается в конечном числе точек (t, x) ∈ Ω, то СИУВ III рода.
Точки, в которых происходит данное выраждение, называются особыми.
В настоящей работе исследованы на предмет единственности решения задачи вида (1),
у которых
в области Ω и предложен алгоритм решения.
1. Постановка задачи
det A(t, x) ≡ 0 (2)
Перед тем, как формулировать условия существования единственного решения,
приведем некоторые результаты и определения.
Теорема 1. [1]. Система интегральных уравнений
∫ t
K 0 1(t, x, τ)u(τ, x)dτ + ∫ x
K 0 2(t, x, s)u(t, s)ds +
+ ∫ t ∫ x
K 0 0 3(t, x, τ, s)u(τ, s)dτds = ψ(t, x),
где K 1 (t, x, τ), K 2 (t, x, s), K 3 (t, x, τ, s) − матрицы с непрерывными в области
0 τ t a, 0 s x b элементами и с непрерывной вектор-функцией
ψ(t, x) имеет единственное непрерывное решение u(t, x).
Определение. [2]. Пучок матриц λA(t, x) + B(t, x) удовлетворяет критерию "рангстепень"в
области Ω, если rank A(t, x) = deg det(λA(t, x) + B(t, x)) = k = const.
Здесь deg(·) означает операцию взятия степени полинома. Операция deg(0) не определена.
Лемма. [1]. Пусть элементы матриц A(t, x), B(t, x) ∈ CΩ P и пучок λA(t, x) + B(t, x)
удовлетворяет критерию "ранг-степень", тогда существует невырожденные для любых
(t, x) ∈ Ω квадратные матрицы P (t, x), Q(t, x) с элементами из CΩ P такие, что
( ) ( )
Ek 0 J(t, x) 0
P (t, x) (λA(t, x) + B(t, x)) Q(t, x) = λ
+
, (3)
0 0 0 E n−k
где J(t, x) − (k × k)− матрица, а 0 − нулевые блоки подходящей размерности.
Теорема 2. Пусть для системы (1) выполнены условия:
1. Элементы A(t, x), f(t, x) ∈ C 2 в области Ω.
2. Элементы матрицы K(t, x, τ, s) ∈ C 2 в области 0 τ t a, 0 s x b.
3. rank A(t, 0) = rank (A(t, 0) | f(t, 0)),
rank A(0, x) = rank (A(0, x) | f(0, x)).
28