Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

Решением системы (1.3) называется вектор-функция u 0 ∈ C 1 ((0; T ) ; R n ) ∩ C ([0; T ] ; R n ) ,
удовлетворяющая уравнениям системы. Решение системы (6) называется решением задачи
(5), (6), если оно вдобавок удовлетворяет уравнениям (5). Имеет место [5, гл.4]
Теорема 1.1. Пусть пучок µL − M регулярен, p ∈ {0} ∪ N – порядок полюса L -
резольвенты матрицы M , вектор-функция f : [0, T ] −→ R n такова, что ( L L α (M) ) p
f ∈
C ([0; T ] ; R n ) , а I − ( L L α (M) ) p
f ∈ C p+1 ((0; T ) ; R n ) ∩ C p ([0; T ] ; R n ) . Тогда при любом
u 0 ∈ R n существует единственное решение задачи (5), (6), которое к тому же имеет
вид
Здесь
u (t) = −
p∑
q=0
H q M −1
0 (I − Q) f (q) (t) + U t u 0 +
∫ t
0
R t−s Qf (s) ds.
U t = 1 ∫
Rµ L (M) e µt dµ, R t = 1 ∫
(µL − M) −1 e µt dµ, Q = 1 ∫
L L µ (M) dµ
2πi γ
2πi γ
2πi γ
контур γ = {µ ∈ C : |µ| = r > a} .
Контурные интегралы не очень удобны в численных расчетах, поэтому в [3], [4] предложен
другой подход, основанный на аппроксимациях типа Уиддера-Поста [[5], гл. 2].
Именно справедлива
Теорема 1.2.Пусть пучок µL − M регулярен,p ∈ {0} ∪ N – порядок полюса L-
резольвенты матрицы M. Тогда
lim k→∞
[ (
L −
lim k→∞
[ (
L −
) ] −1 k(p+1)
t
k(p + 1) M L = U t ,
[
lim k→∞ kL
L
k (M) ] p+1
= Q,
] k(p+1)−1 (
L −
t
k(p + 1) M ) −1
L
t
k(p + 1) M ) −1
= R t .
Теперь пусть пучок µL − M регулярен, p ∈ {0} ∪ N – порядок полюса L-резольвенты
матрицы M в точке ∞ . Фиксируем T ∈ R + , t ∈ (0, T ) , k ∈ N и положим
U t k =
[ (
L −
) ] −1 k(p+1)
t
k(p + 1) M L ,
Q k = [ kL L k (M) ] p+1
,
[ ( ) ] −1 k(p+1)−1 (
) −1
Rk t t
= L −
k(p + 1) M t
L L −
k(p + 1) M ,
Выберем вектор u 0 ∈ R n , вектор-функцию f ∈ C p+1 ((0; T ) ; R n ) ∩ C p ([0; T ] ; R n ) и
построим вектор-функцию
u k (t) = −
p∑
q=0
H q M −1
0 (I − Q k ) f (q) (t) + U t ku 0 +
∫ t
0
R t−s
k
Q k f (s) ds.
98