Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

Для завершения доказательства осталось проверить, что при всех ν = 1, . . . , µ
(
Bδ (N) (t) − ( λ ν E (q ν) + H (q ν) ) Aδ(t) ) ∗ E Nν (t) = E (q ν) δ(t).
Так как
(
Bδ (N) (t) − λ ν Aδ(t) ) ∗ E Nν (t) = Iδ(t),
(
Bδ (N) (t) − λ ν Aδ(t) ) ∗ E Nν (t) ∗ (Aδ(t) ∗ E Nν (t)) i −
−Aδ(t) ∗ E Nν (t) ∗ (Aδ(t) ∗ E Nν (t)) i−1 ≡ 0,
то
(
Bδ (N) (t) − ΛAδ(t) ) ∗ E N (t) ∗ ũ(t) = T δ(t) ∗ Iδ(t) ∗ T −1 δ(t) ∗ ũ(t) = Iδ(t) ∗ ũ(t) = ũ(t).
Покажем справедливость второго равенства.
E N (t) ∗ ( Bδ (N) (t) − ΛAδ(t) ) ∗ ṽ(t) = T δ(t) ∗ { E N1 (t), E N2 (t), . . . , E Nµ (t) } ∗
∗T −1 δ(t) ∗ ( Bδ (N) (t) − ΛAδ(t) ) ∗ T δ(t) ∗ T −1 δ(t) ∗ ṽ(t) =
= T δ(t) ∗ { E N1 (t), E N2 (t), . . . , E Nµ (t) } ∗ ( Bδ (N) (t) − JAδ(t) ) ∗ T −1 δ(t) ∗ ṽ(t).
Но
E Nν (t) ∗ ( Bδ (N) (t) − λ ν Aδ(t) ) = Iδ(t),
−E Nν (t) ∗ (Aδ(t) ∗ E Nν (t)) i ∗ Aδ(t)+
+E Nν (t) ∗ (Aδ(t) ∗ E Nν (t)) i+1 ∗ ( Bδ (N) (t) − λ ν Aδ(t) ) ≡ 0,
поэтому
и
E Nν (t) ∗ ( Bδ (N) (t) − ( λ ν E (q ν) + H (q ν) ) Aδ(t) ) = E (q ν) δ(t)
E N (t) ∗ ( Bδ (N) (t) − ΛAδ(t) ) ∗ ṽ(t) = T δ(t) ∗ Iδ(t) ∗ T −1 δ(t) ∗ ṽ(t) = Iδ(t) ∗ ṽ(t) = ṽ(t).
Теоремa 1 доказана.
Следствие 1. Если в условиях теоремы 1 все элементарные делители матрицы Λ
первой степени, то матричная фундаментальная оператор-функция дифференциального
оператора ( Bδ (N) (t) − ΛAδ(t) ) имеет на классе K ′ +(E 2 ) вид
E N (t) = T δ(t) ∗ { E N1 (t), E N2 (t), . . . , E Ns (t) } ∗T −1 δ(t).
Следствие 2. Если выполнены условия теоремы 1, то единственное обобщенное решение
задачи (1)–(2) (т.е. решение сверточного уравнения (3) класса K ′ +(E 1 )) восстанавливается
по формуле
ũ(t) = E N (t) ∗ ( f(t)θ(t) + Bu 0 δ (N−1) (t) + Bu 1 δ (N−2) (t) + · · · + Bu N−1 δ(t) ) . (9)
Если теперь в обобщенном решении (9) выделить регулярную и сингулярную составляющие,
потребовать обращения в нуль последней и удовлетворения регулярной
составляющей начальному условию (2), то полученные условия будут описывать совокупность
начальных данных u(0), u ′ (0), . . . , u (N−1) (0) и правых частей f(t), при которых
107