Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ РАСПОЗНАВАНИЯ ЧИСЛОВЫХ МАТРИЦ ПО
ОЦЕНКАМ МНОЖЕСТВ РЕШЕНИЙ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
А.В. Пролубников, С.А. Силицкий
Омский государственный университет, Омск
e-mail: a.v.prolubnikov@mail.ru, sersil@mail.ru
Аннотация. Предлагается алгоритм решения задачи распознавания числовых матриц, использующий
оценки множеств решений интервальных линейных систем уравнений. Рассматриваются
две схемы алгоритма – схема, использующая оценки, полученные с помощью интервального
метода Гаусса-Зейделя, и схема, оценивающая множества решений интервальных систем
линейных уравнений при помощи решений неинтервальных систем линейных уравнений. Обе
предложенные схемы имеют вычислительную сложность, оцениваемую как O(n 3 ) элементарных
машинных операций. Рассматриваются результаты вычислительного эксперимента. В качестве
приложения разработанного алгоритма распознавания числовых матриц рассматривается задача
распознавания растровых изображений.
Ключевые слова: распознавание образов, интервальная система линейных уравнений,
вычислительная эффективность.
1. Постановка задачи.
В рассматриваемой задаче распознавания образов предполагается, что некоторое изображение
из числа эталонных подверглось зашумлению – некоторому изменению значений
пикселей изображения. При этом известно, в каком интервале могли происходить изменения
значений пикселей. По имеющемуся зашумленному изображению необходимо определить,
каким эталонным изображением, подвергнутым зашумлению, оно является.
Существует множество подходов к решению данной задачи. Ниже предлагается подход,
основанный на оценивании расстояний от решений систем линейных уравнений с
матрицами, соответствующими эталонным изображениям, от множеств решений систем
линейных уравнений с интервальными матрицами.
Матричная постановка задачи следующая. Имеется L квадратных n × n-матриц A k
с элементами a k ij, представляющими пикселы изображений. В ходе зашумления одной из
матриц – матрицы A i0 – получена некоторая матрица A. Известно, что значение элементов
матриц могло быть изменено в пределах интервалов [a k ij − ∆, a k ij + ∆], ∆ > 0. Необходимо
определить i 0 .
Без ограничения общности можно считать матрицы A 1 , . . . , A L , A квадратными. В противном
случае, если имеются m×n-матрицы т.ч. m < n, то к каждой матрице добавляются
n − m нулевых строк.
Для решения такой задачи распознавания обычно решается задача минимизации некоторого
функционала, представляющего собой расстояние ρ(F 1 (A), F 2 (A i )), где F 1 , F 2 –
некоторые отображения распознаваемого изображения и эталонных, представляемых числовыми
матрицам. При удачно выбранных F 1 и F 2 и уровне зашумления, допускающем
152