Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

Далее, проверим выполнение условия I). Положим ψ i (x, y) = s 1 (x)φ i (y), i = 1, n. Тогда
(A 1 ϕ i , ψ j ) = −βλ(s(x) 1 , s 1 (x))(φ i (y), φ j (y)) = −βδ ij , следовательно, ни один из нулей оператора
B не имеет присоединённого элемента, а оператор B имеет полный биканонический
жорданов набор относительно операторов A 1 , A 0 .
Теперь построим оператор Шмидта, для этого нормируем нули сопряжённого оператора
ψ i (x, y) = − 1
βλ s 1(x)φ i (y), i = 1, n и введём функции γ i (x, y) = s 1 (x)φ i (y), i = 1, n,
z i (x, y) = −βλs 1 (x)φ i (y), i = 1, n. Оператор Шмидта имеет вид
Γ =
+∞∑
+∞∑
j=2 k=n+1
((•, φ k (y)) , s j (x))
φ k (y)s j (x) − 1
µ j + λ k − λ
βλ
n∑
((•, φ k (y)) , s 1 (x)) φ k (y)s 1 (x).
k=1
Далее нетрудно составить квадратное операторное уравнение для данного примера и
убедиться, что корни из формулировки теоремы 4 удовлетворяют условию II).
Замечание 2. Полученные результаты также позволяют утверждать, что при
выполнении условий
((F (x, y, 0) − βλΦ 2 (x, y) − αβµ 1 Φ 0 (x, y), φ k (y)), s 1 (x)) = 0, k = 1, n,
(( ∂ ∂t F (x, y, t) ∣
∣∣∣t=0
− βλΦ 3 (x, y) − αβµ 1 Φ 1 (x, y), φ k (y)), s 1 (x)) = 0, k = 1, n,
обобщенное решение задачи Коши-Дирихле для уравнения (5) будет являться единственным
классическим решением, при достаточно гладкой функции F (x, y, t).
3. Редукция системы Бусинеска
Рассмотрим систему уравнений вида
⎧
∂
⎨
2
(b + ∆)u(x, t) = a∆u(x, t) + c∆w(x, t) + f(x, t)
∂t 2
⎩
∂ 2
∂t 2 (b + ∆)w(x, t) = d∆w(x, t) + g(x, t)
(6)
a, b, c, d ∈ R/{0},и задачу Коши-Дирихле для системы
∂ k
∂t k u(x, t) ∣
∣∣∣t=0
= u k (x),
∂ k
∂t k w(x, t) ∣
∣∣∣t=0
= w k (x), k = 0, 1,
u(x, t)| x∈∂Ω
= w(x, t)| x∈∂Ω
= 0.
Система уравнений (6) представляет собой линеаризованую систему, описывающую
распространение поперечных волн в молекуле ДНК [[4]]. Более подробно об этой системе
можно посмотреть в статье [5].
Редуцируем систему (6) к скалярному уравнению четвёртого порядка. Для этого из
первого уравнения выразим функцию ∆w(x, t)
c∆w(x, t) = 1 c ( ∂2
(b + ∆)u(x, t) − a∆u(x, t) − f(x, t)).
∂t2 122