Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

распознавание, минимум расстояния будет достигаться на i 0 :
ρ(F 1 (A), F 2 (A i0 )) = min
1≤i≤L {ρ(F 1(A), F 2 (A i ))}. (1)
В качестве отображений F 1 и F 2 в этой работе предлагается использовать отображения
числовых матриц в точки множеств решений интервальных линейных систем уравнений,
связанных с матрицами A 1 , . . . , A L , A.
Определение.Для интервальной линейной системы уравнений вида Ax = b, где A
– интервальная n × n матрица, b – некоторый интервальный n-мерный вектор, множество
решений – это множество Ξ(A, b) = { x ∈ R n ∣ ∣ ∃A ∈ A, ∃b ∈ b: Ax = b
}
.
Рассматриваемые далее интервальные линейные системы уравнений – системы уравнений
с правой частью b = ([b 1 , b 1 ], . . . , [b n , b n ]). То есть интервальный вектор b может
быть рассмотрен как вектор b ∈ R n . Его выбор производится исходя из индивидуальной
задачи распознавания с заданным набором эталонных матриц A 1 , . . . , A L .
2. Алгоритм, использующий оценки множеств решений интервальных линейных
систем уравнений, полученные интервальным методом Гаусса-Зейделя
В ходе работы предлагаемого алгоритма по матрицам A 1 , . . . , A L , A строятся интервальные
матрицы A 1 , . . . , A L . После чего находятся множества ˜Ξ i (i = 1, L), представляющие
собой внешние оценивания множеств Ξ(A i , b) – множеств решений интервальных
линейных систем уравнений A i x = b (i = 1, L).
В качестве расстояния ρ, исходя из значения которого производится распознавание
числовой матрицы A, в (1) будем использовать значение ρ(x i , ˜Ξ i ), где x i – решение неинтервальной
системы линейных уравнений с матрицей A ′ i, построенной по матрицам A i и
A, и правой частью b. ρ, как расстояние от точки x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n до множества
˜Ξ = ([x 1 , x 1 ], . . . , [x n , x n ]), определим так:
ρ(x, ˜Ξ) n∑
= √ (max{|x j − x j |, |x j − x j |}) 2 .
j=1
˜Ξ i будем получать с помощью интервального метода Гаусса-Зейделя решения интервальной
линейной системы уравнений.
Решением задачи распознавания числовых матриц объявляется номер i 0 т.ч.
ρ(x i0 , ˜Ξ i0 ) = min
1≤i≤L ρ(x i, ˜Ξ i ).
Построение матриц A ′ i и A i . Пусть a k ij – элемент матрицы A k , находящийся в ее
(i, j)-й позиции, a ij – элемент матрицы A, находящийся в ее (i, j)-й позиции. Найдем a min
и a max т.ч.:
a min = min {a k ij, a ij },
1≤i,j≤n
1≤k≤L
a max = max {a k ij, a ij }.
1≤i,j≤n
1≤k≤L
Далее строим матрицы Ãi со следующими элементами:
ã k ij =
ak ij − a min
a max − a min
.
153