Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

В силу оценки из условия 5) при достаточно малых λ ∈ S 0 ⊂ S выполнится неравенство
C
a(λ) ‖x∗ (λ)‖ (1 − q)r 0 , где C – const. Следовательно, ‖Φ(V, λ)‖ r 0 при ‖V ‖ r 0 и λ ∈ S 0 .
Теорема доказана.
Пример 1. Покажем, что уравнение
F (x, λ) ≡
∫ 1
0
tsx(s) ds + λx(t) −
∫ 1
0
x 3 (s) ds − f(t, λ) = 0,
где x(t) ∈ C [0,1] , f(t, λ) = m(t)λ n , m(t) ∈ C [0,1] , n 2, S – суть проколотая окрестность
нуля, имеет малое непрерывное решение x λ (t) → 0 при S ∋ λ → 0.
Здесь дифференциал Фреше имеет вид
при этом
F x (x, λ)h =
∫ 1
Далее, F x (0, 0) = 0 и выполнена оценка
0
∫ 1
tsh(s) ds + λh(t) − 3
0
x 2 (s)h(s) ds,
Fx
−1 (0, λ)h = h(t)
∫
λ − 3t
1
sh(s) ds.
(3λ + 1)λ
0
‖Fx
−1 (0, λ)‖ = O
( ) 1
.
|λ|
Условия 1), 2) очевидно выполнены. В силу неравенств
‖F x (x, λ)h − F x (0, λ)h‖ =
∫ 1
∥
∥3
0
x 2 ∥
(s)h(s) ds∥ 3r‖x‖ ‖h‖
условие 3) тоже выполнено. Если n > 2, то выполнено условие 4), и по теореме 1, уравнение
имеет малое непрерывное решение x λ (t) → 0 при λ → 0. Если n = 2, то условие 4) не
выполняется, но будет выполнено условие 5), если m(t) = const · t. Таким образом, для
того, чтобы данное уравнение при n = 2 имело решение x λ (t) → 0 при λ → 0, достаточно,
чтобы m(t) = const · t.
Пример 2. Покажем, что двухточечная краевая задача для интегро-дифференциальной
системы
⎧⎨
−y ′′ (t) = x(t), y(0) = y(1) = 0, 0 < t < 1
∫ 1
⎩ y(t) + λx(t) + t x(s)y(s) ds + f(t, λ) = 0, λ > 0
0
где f(t, λ) = m(t)λ n , m(t) ∈ L 2 [0,1], n 2, имеет малое непрерывное решение
{x λ (t), y λ (t)} → (0, 0) при λ → +0.
Из первого уравнения системы имеем y(t) =
G(t, s) =
∫ 1
0
G(t, s)x(s) ds, где
{ t(1 − s), 0 t s
(1 − t)s, s t 1.
160