Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

умноженную на любое вещественное число α. В дальнейшем будем исследовать на знакоопределенность
квадратичную форму
V (z, α) = V 1 (z) + α V 2 (z) . (1.1)
Приводя каким-либо способом [6, 7] квадратичную форму к сумме квадратов, по коэффициентам
при этих квадратах можно сделать определенные заключения о знакоопределенности
V (z, α). Выполним это самым простым методом последовательного исключения [6]
и получим
V (z, α) = (z 1 + α z 3 ) 2 + J 2 (α) [z 2 + gz 3 /2J 2 (α)] 2 + ∆(α) z 2 3 ,
где обозначено: ∆(α) = J 3 (α)/J 2 (α); J 2 (α) = p − 2 α; J 3 (α) = 2 α 3 − p α 2 − r α +
p r − g 2 /4.
При этом переменные z 1 , z 2 , z 3 удовлетворяют условию связи вида V 2 (z) = 0, которую
можно рассматривать ограничением на область определения переменных: z 1 ≥ 0; z 3 ≥ 0.
Проведем вначале анализ квадратичной формы (1.1), затем установим ее свзь с формой
(1). По критерию Сильвестра [6, 7] для положительной определенности V (z, α) достаточно,
чтобы существовала область D ⊂ R (D ≠ 0) значений параметра α, в которой
выполняется система неравенств:
{
J2 (α) > 0
J 3 (α) > 0
(1.2)
Область D будем выбирать с целью приблизить достаточные условия знакоопределенности
квадратичной формы к необходимым. Для этого исходя из условия J 2 (α) > 0,
потребуем положительным наибольшее значение локального экстремума J 3 (α). Таким
образом, поставлена задача условного экстремума:
max J 3(α) > 0 .
J 2 (α)>0
Исследование условного экстремума проще провести простым способом: определить точку
α 1 локального максимума функции f(α) = J 3 (α)/2, и затем проверить условие J 2 (α 1 ) >
0. Искомое значение α 1 находится среди корней уравнения f ′ (α) = 3 α 2 − p α −
r = 0. Локальному максимуму здесь соответствует меньший корень α 1 = (p −
√
p2 + 12 r)/6 < 0. Вычисления дают значения: f(α 1 ) = [36 p r − p 3 + √ (p 2 + 12 r) 3 −
27 g 2 /2]/108; J 2 (α 1 ) = (2p + √ p 2 + 12 r)/3. Рассматривая полученные значения при
разных знаках p, сведем требования (1.2) к системе
{
1. p > −2 √ r ,
2. q 2 < 8 pr/3 − 2 p 3 /27 + 2 √ (p 2 + 12r) 3 /27
(1.3)
Любое отклонение от α 1 нарушает второе условие (1.3), тем самым сужает условия
знакоопределенности (1.1). Следовательно, (1.3) являются необходимыми и достаточными
условиями положительной определенности (1.1).
135