Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

при W 0 ≠ ∅ и f 1 W 0 ⊂ G
P (x ∗ 1) = S ∪ V S
1 , P (x ∗ 2) = G ∪ W ∪ V W
1 ;
при V 0 ≠ ∅ и f 2 V 0 ⊂ S P (x ∗ 1) = S ∪ V ∪ W V 1 , P (x ∗ 2) = G ∪ W G 1 ;
при W 0 ≠ ∅, V 0 ≠ ∅, f 1 W 0 ⊂ G и f 2 V 0 ⊂ S P (x ∗ 1) = S ∪ V , P (x ∗ 2) = G ∪ W .
Следствие 2. Если для итерационного процесса (1) с x ∗ 1 < x p < x ∗ 2 f 1 W 0 ∩ V 0 ≠ ∅ и
f 2 V 0 ∩ W 0 ≠ ∅, то:
при f 1 W V 1,0 ⊂ V S
1,0 P (x ∗ 1) = S ∪ V S
1 ∪ W V 1 ∪ V W
2 , P (x ∗ 2) = G ∪ W G 1 ∪ V G
2 ;
при f 2 V W
1,0 ⊂ W G 1,0 P (x ∗ 1) = S ∪ V S
1 ∪ W S 2 , P (x ∗ 2) = G ∪ W G 1 ∪ V W
1 ∪ W V 2 ;
при f 1 W V 1,0 ⊂ V S
1,0 и f 2 V W
1,0 ⊂ W G 1,0 P (x ∗ 1) = S ∪ W V 1 ∪ V S
1 , P (x ∗ 2) = G ∪ W G 1 ∪ V W
1 .
Наиболее простую структуру множества W (S,G)
i , Wi
V , V (S,G)
i , Vi W , соответственно P (x ∗ 1)
и P (x ∗ 2), имеют при монотонных f 1 (x) и f 2 (x). А именно.
Для f 1 (x) возрастающей на [a, x ∗ 1] и f 2 (x) возрастающей на [x ∗ 2, b] имеет место W = V = ∅
и P (x ∗ 1) = [a, x p ], P (x ∗ 2) = (x p , b].
Для f 1 (x) убывающей на [a, x ∗ 1] и f 2 (x) возрастающей на [x ∗ 2, b] имеет место S = [α 0 , x p ],
W1,0 G = W 0 = [a, α 0 ), G = (x p , b], V = ∅ и P (x ∗ 1) = [α 0 , x p ], P (x ∗ 2) = [a, α 0 ) ∪ (x p , b].
Для f 1 (x) возрастающей на [a, x ∗ 1] и f 2 (x) убывающей на [x ∗ 2, b] имеет место S = [a, x p ],
W 0 = ∅, G = (x p , β 0 ), V 0 = V1,0 S = [β 0 , b] и P (x ∗ 1) = [a, x p ] ∪ [β 0 , b], P (x ∗ 2) = (x p , β 0 ).
Для f 1 (x) убывающей на [a, x ∗ 1] и f 2 (x) убывающей на [x ∗ 2, b] имеет место S = [α 0 , x p ];
W 0 = [a, α 0 ); G = (x p , β 0 ); V 0 = [β 0 , b];
W (S,G)
i
V (S,G)
i
{
= W (S,G) [αi , α
i,0 =
i−1 ], при i четном,
(α i , α i−1 ), при i нечетном;
{
= V (S,G) [βi−1 , β
i,0 =
i ], при i нечетном,
(β i−1 , β i ), при i четном.
При выполнении условия (4) для четного k получаем
P (x ∗ 1) = [α 0 , x p ] ∪ [β 0 , β 1 ] ∪ [α 2 , α 1 ] ∪ . . . ∪ [β k−2 , β k−1 ] ∪ [α k , α k−1 ] ∪ [β k , b] ∪ [a, α k+1 ],
а для нечетного k
P (x ∗ 2) = [a, b] \ P (x ∗ 1);
P (x ∗ 1) = [α 0 , x p ] ∪ [β 0 , β 1 ] ∪ [α 2 , α 1 ] ∪ . . . ∪ [β k−1 , β k ] ∪ [α k+1 , α k ], P (x ∗ 2) = [a, b] \ P (x ∗ 1).
При выполнении условия (7) из (8) и (9) для убывающих f 1 (x) и f 2 (x) области
притяжения P (x ∗ 1) и P (x ∗ 2) также представляют объединения промежутков, граничными
точками которых являются точки a, x p , α i , β i , b.
3. Случаи x ∗ i < x p и x p < x ∗ i
11