Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

Далее нетрудно составить квадратное операторное уравнение для данного примера и
убедиться, что корни из формулировки теоремы 2 удовлетворяют условию II).
Теорема 3. Если λ /∈ σ(∆ N+1 ), среди чисел D kj = ( α+βµ j+βλ k
µ j +λ k −λ )2 − 4µ j
, k, j =
µ j +λ k −λ
1, +∞ нет нулей, функция F (x, y, t) ∈ (E 2 , C k [0, +∞)), тогда задача Коши-Дирихле для
уравнения ионно-звуковых волн в замагниченной плазме (5) имеет единственное решение
u(x, y, t) ∈ (E 1 , C k+4 [0, +∞)), причем
Λ 1 = − 1 2
Λ 0 = − 1 2
+∞∑
+∞∑
j=1 k=1
+∞∑
+∞∑
j=1 k=1
(
α + βµ j + βλ k
µ j + λ k − λ − √ D kj
)
((•, φ k (y)) , s 1 (x)) φ k (y)s j (x),
(
α + βµ j + βλ k
µ j + λ k − λ + √ D kj
)
((•, φ k (y)) , s 1 (x)) φ k (y)s j (x).
Доказательство. Положим B = ∆ N+1 − λ, A 1 = α(λ − ∆ N+1 ) − β∆ N+1 , A 0 = −αβ ∂2
∂x 2 .
Введём обозначение σ(∆ N+1 ) = { λ k + µ j , k, j = 1, +∞ } . Если λ /∈ σ(∆ N+1 ), тогда оператор
B непрерывно обратим
B −1 =
+∞∑
+∞∑
j=1 k=1
((•, φ k (y)) , s 1 (x))
φ k (y)s j (x).
µ j + λ k − λ
Далее нетрудно составить квадратное операторное уравнение для данного примера и
убедиться, что корни из формулировки теоремы 3 удовлетворяют условию II).
(
) 2
Теорема 4. Если λ ∈ σ(∆ N+1 ), среди чисел D kj = α + βµ j+βλ k 4αβµ
µ j +λ k −λ −
j
, k =
µ j +λ k −λ
n + 1, +∞, j = 2, +∞ нет нулей и 4µ 1 α ≠ −λ, тогда уравнение (5) имеет единственное
обобщенное решение из класса K +(E ′ 1 ), причем
Λ 1 = − 1 2
+∞∑
+∞∑
j=2 k=n+1
+(1 +
(
α + βµ j + βλ k
µ j + λ k − λ − √ D kj
)
((•, φ k (y)) , s 1 (x)) φ k (y)s j (x)+
√
1 + 4µ 1α
λ
n∑
) ((•, φ k (y)) , s 1 (x)) φ k (y)s 1 (x),
k=1
Λ 0 = − 1 2
+∞∑
+∞∑
j=2 k=n+1
+(1 −
(
α + βµ j + βλ k
µ j + λ k − λ + √ D kj
)
((•, φ k (y)) , s 1 (x)) φ k (y)s j (x)+
√
1 + 4µ 1α
λ
n∑
) ((•, φ k (y)) , s 1 (x)) φ k (y)s 1 (x).
k=1
Доказательство. В этом случае оператор B не является непрерывно обратимым
и имеет нетривиальное ядро, состоящее из функций s j (x)φ ki (y), i = 1, n для некоторых
k, j, здесь φ ki (y) — собственные функции, отвечающие значению λ k . Так как оператор
B самосопряженный, то он является фредгольмовым с n-мерным пространством нулей.
Перенесём функции φ ki (y), i = 1, n в начало системы функций φ k (y), k = 1, +∞, то есть
заменим индекс k i на i, то же самое сделаем с функцией s j (x).
121