Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

z 0 = 2, z 1 = 4, z 2 = 6, z 3 = 8.
⎧
t, 0 t < 2,
⎪⎨
−1 + t + e t−2 , 2 t < 4,
¯x(t) =
−2 + t + e
⎪⎩
t−2 + (5 − t)e t−4 , 4 t < 6,
−3 + t + e t−2 + (5 − t)e t−4 + ( t2 − 7t + 2 25)et−6 , 6 t < 8.
250
200
150
100
50
0
1 2 3 4 5 6 7 8
t
Рис. 4: График решения (пример 4).
Из рисунка 4 видно, что в точке z 0 решение непрерывно, т.к. в этой точке выполнятся
условие непрерывности стыковки решения на предыстории и на основном отрезке. На
всей области определения решение возрастает.
3. Условие, обеспечивающее возрастание искомого решения
Рассмотрим упрощенный вариант модели (6)–(13):
x(t) =
∫ t
a(t)
x(s)y(s)ds + g(t), t ∈ [t 0 , T ]. (18)
Здесь функции y(t), g(t), a(t) считаются заданными. Искомое решение задано на предыстории
x(t) = x 0 (t), t ∈ [a(t 0 ), t 0 ). (19)
Рассмотрим условия на исходные данные задачи (18)–(19), при которых искомое решение
будет возрастающим. Продифференцируем (18):
Зададим начальное условие:
x ′ (t) = x(t)y(t) − x 0 (a(t))y 0 (a(t)) + g ′ (t). (20)
Решением задачи Коши (20), (21) является функция
x(t) = e
∫ t ∫
y(s)ds
t
t 0
t 0
x(t 0 ) = x 0 . (21)
(
g ′ (s) − a ′ (s)x 0 (a(s))y 0 (a(s)) ) e − s∫
∫ t
y(s)ds y(s)ds
t 0 ds +
t x0 e 0 . (22)
92