Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

ортогональным многочленам (Фурье, Чебышева, Лежандра, Якоби и др.) или на вычислении
интеграла (2) при помощи квадратурных формул. Они применимы в относительно
простых случаях, когда изображение F (p) считается точно заданным. При этом в первом
случае используются значения изображения в целочисленных точках вещественной
оси, а для вычисления интеграла (2) – значения изображения на сетке некоторой прямой
комплексной плоскости, параллельной мнимой оси. В реальных задачах выбор значений
аргумента изображения может диктоваться условиями измерений и быть произвольным.
Этот произвол естественно использовать для повышения качества численного обращения
преобразования (1).
В работах [1, 2, 3, 4, 10, 5, 11] разработан вариационный метод нормальной сплайнколлокации
(нормальных сплайнов, НС) для линейных интегральных и дифференциальных
уравнений общего класса, в частности, на бесконечных промежутках и с равномерной
погрешностью в правой части. Задача обращения преобразования (1) рассмотрена в комплексном
представлении и с приближённо заданным изображением ˜F (p) в [5].
Метод НС заключается в переходе к конечной коллокационной системе равенств и
определениии элемента минимальной гильбертово-соболевской нормы. Алгоритм метода
основан на представлении точечных и интегральных функционалов, возникающих при
дискретизации внешней (для интегрального оператора) переменной, к каноническому виду
(в виде скалярного произведения). Образы этих функционалов составляют координатную
систему функций метода НС. Для интегральных уравнений первого рода с равномерной
погрешностью в правой части решается регуляризующая задача, заключающаяся
в минимизации квадрата нормы уклонения искомого решения от некоторой пробной
функции на множестве решений поточечной невязки, определяемой заданным уровнем
погрешностей [1, 3]. Опыт применения метода НС для вырожденных дифференциальных
уравнений, представлен в [4, 10, 11].
В данной работе представлена схема метода НС для решения задачи численного
обращения преобразования Лапласа (1) на основе его замены парой вещественных
интегральных уравнений. Декомплексификация преобразования Лапласа позволяет
решать задачу численного обращения при произвольном задании значений вещественной
и мнимых частей изображения F (p) в правой части комплексной полуплоскости
{p : Re(p) > 0}. Приведено аналитическое каноническое представление интегральных
функционалов, соответствующих ядрам вещественных интегральных уравнений, эквивалентных
преобразованию (1). Представлены результаты численного решения тестовой
задачи.
1. Преобразование Лапласа в вещественной форме
Рассмотрим задачу обращения преобразования Лапласа (1) скалярной функции x(t)
с точно заданным изображением F (p). Для применения метода НС эту задачу следует
считать разрешимой в гильбертово-соболевском пространстве W l 2[0, ∞) с нормой
‖x‖ 2 =
∫ ∞
0
[
x 2 (s) + (x (l) (s)) 2] ds. (3)
Здесь и далее x (l) обозначает произвдную функции x(t) порядка l.
Метод НС в существующем варианте применим к вещественным уравнениям. Соответственно,
его применение непосредственно к уравнению (1) возможно, когда используются
70