Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

принципа максимума Л.С. Понтрягина и его обобщений на задачи управления системами
с распределенными параметрами. Задачи управления системами с распределенными параметрами
активно разрабатывались в работах А.Г. Бутковского, Ф.П. Васильева, А.И. Егорова,
В.Г. Литвинова. К.А. Лурье, Ж.-Л. Лионса, В.И. Плотникова, У.Е. Райтума и др.
Сингулярные возмущения задач управления часто связаны с наличием малого параметра
при старшей производной в уравнениях, определяющих динамику процесса. В этом
случае у решений соответствующих систем могут появиться функции пограничного слоя.
Теория экспоненциально убывающих функций пограничного слоя, развитая в работах А.Б.
Васильевой, В.Ф. Бутузова и их учеников, была успешно применена и для исследования
задач управления. Другой подход к задаче с быстрыми и медленными переменными основан
на прямом опорном методе и развит в работах Р. Габасова, Ф.М. Кирилловой, А.И.
Калинина и др.
Однако в ряде случаев решения вспомогательных задач пограничного слоя имеют нарастающие
степенные особенности. Такие задачи характерны для областей с негладкими
границами, а также при наличии малых полостей, тонких щелей и тел и т.п. В последнее
время они получили название бисингулярных задач.
Одним из мощных методов построения равномерных асимптотик бисингулярных задач
является метод согласования асимптотических разложений. Хотя идеи метода высказаны
Прандтлем еще в 1904 году, а процедура согласования использовалась Ван-Дайком, Л.
Френкелем и В. Экхаузом, строгое обоснование асимптотических разложений, построенных
таким методом, особенно для задач с распределенными параметрами, появилось сравнительно
недавно в работах В.М. Бабича, A.M. Ильина, P.P. Гадылыпина, Л.А. Калякина,
Е.Ф. Леликовой, Б.И. Сулейманова и др.
Несколько иными методами исследовались бисингулярные задачи в работах В.Г. Мазьи,
С.А. Назарова, Б.А. Пламеневского, М.В. Федорюка.
Проблемам оптимального управления возмущенными системами в последние годы посвящено
много работ. Так, регулярные возмущения исследовались в работах Л.Д. Акуленко,
Э.Г. Альбрехта, В.Б. Колмановского, Н.Н. Моисеева, В.А. Плотникова, Ф.Л. Черноусько
и др.
Сингулярно возмущенные задачи, чаще всего в постановке “быстрые–
медленные переменные”, изучались в работах А.А. Белолипецкого,
В.Г. Гайцгори, М.Г. Дмитриева, А. Дончева, А.И. Калинина, Ю.Н. Киселева, А.Г. Кремлева,
П.В. Кокатовича, Г.А. Куриной, А.Ю. Рябова, Е.А. Гребеникова и др.
Бисингулярно возмущенные задачи оптимального управления исследованы существенно
хуже. Здесь следует отметить работы В.Е. Капустяна.
При применении вычислительной техники для решения сингулярных задач используются
конечно-разностные схемы. Традиционные разностные схемы в общем случае теряют
свойство сходимости при решении сингулярно возмущенных краевых задач. Поэтому возникла
необходимость в разработке разностных схем, обладающих свойством сходимости,
равномерной относительно малого параметра. Можно выделить следующие подходы, применяемые
при разработке численных методов для сингулярно возмущенных задач:
1) сгущение сеток в пограничных слоях;
2) подгонка схем к погранслойной составляющей решения;
3) использование интегральных соотношений и усеченных схем;
4) применение метода Галеркина с выделением особенностей;
5) использование сплайнов и метода коллокации [8].
ОДУ, не разрешенные относительно производных, называют дифферен-
80