Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

квадратную матрицу λ i E (qi) + H (qi) порядка q i вида
⎛
⎞
λ i 1 0 . . . 0 0
0 λ i 1 . . . 0 0
λ i E (qi) + H (qi) =
⎜ · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
⎟
⎝ 0 0 0 . . . λ i 1 ⎠ .
0 0 0 . . . 0 λ i
Тогда квазидиагональная матрица
J = { λ 1 E (q 1) + H (q 1) , λ 2 E (q 2) + H (q 2) , . . . , λ µ E (q µ) + H (q µ) }
и матрица Λ имеют одни и те же элементарные делители, а значит они подобны, т.е.
существует такая невырожденная матрица T , что
Λ = T · J · T −1 .
Матрица J называется жордановой нормальной формой или просто жордановой формой
матрицы Λ.
В частности, если все элементарные делители матрицы Λ первой степени (и только
в этом случае), жорданова форма является диагональной матрицей, и в этом случае мы
имеем
Λ = T · diag {λ 1 , λ 2 , . . . , λ s } · T −1 .
Здесь использованы обозначения и терминология монографии [3].
Понятие матричной фундаментальной оператор-функции. В работах [4–8] для
построения обобщенных решений различных типов вырожденных дифференциальных
уравнений в банаховых пространствах использовался метод, связанный с построением
фундаментальной оператор-функции. Идеи этого метода были применены в [1, 2] для
исследования системы вырожденных дифференциальных уравнений первого порядка и
будут перенесены в представляемой заметке на систему (1).
В обобщенных функциях [9] задачу Коши (1)–(2) можно записать в сверточном виде
как
(
Bδ (N) (t) − ΛAδ(t) ) ∗ ũ(t) = f(t)θ(t) + Bu 0 δ (N−1) (t) + Bu 1 δ (N−2) (t) + · · · + Bu N−1 δ(t), (3)
где θ(t) — функция Хевисайда, δ(t) — дельта-функция Дирака.
Определение. Матричной фундаментальной оператор-функцией E N (t) для дифференциального
оператора ( Bδ (N) (t) − ΛAδ(t) ) на классе K ′ +(E 2 ) назовем такую матричную
оператор-функцию, для которой выполняются следующие два равенства
(
Bδ (N) (t) − ΛAδ(t) ) ∗ E N (t) ∗ ũ(t) = ũ(t) ∀ ũ(t) ∈ K ′ +(E 2 ) (4)
E N (t) ∗ ( Bδ (N) (t) − ΛAδ(t) ) ∗ ṽ(t) = ṽ(t) ∀ ṽ(t) ∈ K ′ +(E 1 ). (5)
Если известна матричная фундаментальная оператор-функция E N (t) для дифференциального
оператора ( Bδ (N) (t) − ΛAδ(t) ) , то система сверточных уравнений (3) имеет единственное
обобщенное решение в классе K ′ +(E 1 ) вида
ũ(t) = E N (t) ∗ ( f(t)θ(t) + Bu 0 δ (N−1) (t) + Bu 1 δ (N−2) (t) + · · · + Bu N−1 δ(t) ) .
104