Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

уравнения
∫t 1
ψ(t 1 , t 2 ) = c + m 1
∫t 2
ψ(s, t 2 )ds + m 2
∫t 1
ψ(t 1 , s)ds + m 12
∫ t 2
ψ(s 1 s 2 )ds 1 ds 2 (4)
0
0
0
0
в виде ряда Неймана
∞∑
ψ ∗ (t 1 , t 2 ) = V k c, (5)
и коммутативность образующих V изотонных операторов V 1 , V 2 и V 12 , так что
k=0
ψ ∗ (t 1 , t 2 ) =
∞∑
k=0
∑
i 1 +i 2 +i 12 =k
k!
i 1 !i 2 !i 12 ! V i 1
1 V i 2
2 V i 12
12 c. (6)
Таким образом, получение неулучшаемой оценки решений (3) сводится к подсчету значений
степеней операторов, входящих в (6). В работах [1], [2] установлено, что (6) представимо
в следующем виде:
(
ψ ∗ (t 1 , t 2 ) = c e m 1t 1 +m 2 t 2
J 0 2i √ (m 1 m 2 + m 12 )t 1 t 2
), (7)
где J 0 — функция Бесселя нулевого порядка, i — мнимая единица.
Нетрудно сравнить (7) с другими оценками . Например, для случая m 12 = 0 известны
следующие оценки:
ψ(t 1 , t 2 ) c e m 1t 1 +m 2 t 2 +m 1 m 2 t 1 t 2
(8)
(оценка Вендроффа [3]);
(оценка из [4]);
(оценка из [5]);
ψ(t 1 , t 2 ) c e m 1t 1 +m 2 t 2 +2 √ m 1 m 2 t 1 t 2
(9)
ψ(t 1 , t 2 ) ≤ c e 2(m 1t 1 +m 2 t 2 )
ψ(t 1 , t 2 ) c e (m 1+m 2 )(t 1 +t 2 )
(оценка из [6]).
Все оценки содержат множитель c e m 1t 1 +m 2 t 2
, поэтому достаточно сравнить функцию
J 0 (2i √ m 1 m 2 t 1 t 2 ) с соответствующими экспонентами из (8) – (11). Разлагая их в ряды
Тейлора и учитывая представление J 0 (2i √ ∞∑ (m 1 m 2 t 1 t 2 ) k
m 1 m 2 t 1 t 2 ) ≡
, убеждаемся, что,
(k!) 2
как следствие неулучшаемости (7), J 0 (2i √ m 1 m 2 t 1 t 2 ) минорирует остальные функции при
любых m 1 , m 2 , t 1 , t 2 0.
Обобщение изложенной техники с двумерного случая на n-мерный (при этом интегральное
неравенство может содержать до 2 n − 1 линейных перестановочных изотонных
операторов Вольтерра) детально рассмотрено в [7], [8]. Там же исследованы сеточные
аналоги подобных неравенств, возникающие при обосновании сходимости численных
методов решения линейных многомерных интегральных уравнений типа Вольтерра.
k=0
(10)
(11)
16