Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

поверхность второго порядка S [8]. Если из некоторой точки p выпустить прямые, касательные
к поверхности второго порядка, то все точки касания будут лежать в одной
плоскости, которая и называется полярной к данной вершине. Точка p может быть расположена
так, что касательные к S из нее провести невозможно. Тогда через эту точку
нужно провести произвольную плоскость Π, через точки пересечения которой с поверхностью
S, в свою очередь, можно провести касательные, заведомо пересекающиеся в одной
точке p ⋆ . Поскольку плоскость Π произвольна, точки p ⋆ заметают плоскость, полярную
точке p. Заметим, что в работах по выпуклому анализу и оптимизации под полярностью
обычно понимают частный случай полярности относительно единичной сферы.
Пусть вершины p l j поверхности P h задаются равенствами
(p l j) 3 = 1 2 pT j Hp j + δ j
Плоскость грани, полярной точке p l j задается равенством
(x l ) 3 + (p l j) 3 = p T j Hx
Предположим, что p i = 0, тогда (p l i) 3 = δ i . Точка fk l , как и ранее, определяется системой
(6), т.е.
p T j f k + 1 2 pT j Hp j + δ j − δ i = 0, j ∈ V(G k ), i ≠ j (9)
в то время как q k задается как точка пересечения плоскостей, полярным вершинам грани
G k , так что
(Hq k ) T p j = 1 2 pT j Hp j + δ j − δ i , j ∈ V(G k ), i ≠ j (10)
Таким образом f k = −Hq k , и тем самым доказано, что теорема 3 справедлива для многогранных
поверхностей, полярных относительно параболоида P , а не только для вписанных
и описанных поверхностей.
Пусть G k - грань поверхности P h , параллельная плоскости x 3 = 0. Вершина q l k , двойственная
этой грани, есть пересечение плоскостей, полярным точкам p l j, которые являются
вершинами грани G k , причем q k = 0. Рассмотрим нормальное изображение окрестности
вершины q l k , т.е. многоугольник B k, вершины которого b l j, задаются как решение линейной
системы
n l (G k ) T (b l j − q l k) = |n l (g k )|, (q l i − q l k) T (b l j − q l k) = 0, i ∈ V(q l j), i ≠ j, (11)
где n l (G k ) - нормаль к грани G k . Элементарные выкладки показвают, что
b l j = −Hp l j,
т.е. доказана теорема
Теорема 4. Многоугольники B k и G k аффинно эквивалентны, т.е. B k = φ k (G k ), и матрица
якоби аффинного отображения φ k совпадает с −H, где H - тензор кривизны параболоида
P в начале координат.
Рассмотрим теперь произвольную регулярную замкнутую двумерную поверхность M
и многогранную поверхность P h , вписанную в M. В подходящей системе координат x i поверхность
можно записать локально как x 3 = f(x 1 , x 3 ), причем справедливо соотношение
f(x 1 , x 2 ) = u(x 1 , x 2 ) + O(|x| 3 ), h ij = ∂2 f
∂x i ∂x j
(0, 0),
62