Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

при вещественных значениях α 1 , α 2 , α 3 . Разлагая ее в сумму 4 полных квадратов, задача
о положительной определенности (4.1) сведется к задаче условного экстремума.
Форма 8 порядка содержит 5 переменных квадратичной формы и N = C4 2 = 6
уравнений связи. С ростом m количество связей преобладает над числом переменных.
Это в частности объсняется двойными уравненими связи, как x s y m−s = x s−1 y m−s+1 =
x s+1 y m−s−1 , имеющими разные выражения в степенных переменных.
Так же решается сведение к степенным переменным для форм 4 порядка k переменных
x 1 , x 2 , . . . , x k . В этом случае будет замена переменных: z 1 = x 2 1; z 2 = x 1 x 2 ; z 3 =
x 1 x 3 ; . . . ; z L = x 2 k . Количество переменных квадратичной формы здесь так же легко
вычислить как число всех мономов второго порядка для k переменных: L = Ck+1 2 . Для
общего числа уравнений связи существует только эмпирическая зависимость: N(2) =
1; N(3) = 6; N(4) = 20; . . .. В простейшем случае формы 4 пордка трех переменных
x 1 , x 2 , x 3 можно ввести степенную замену переменных: z 1 = x 2 1; z 2 = x 1 x 2 ; z 3 =
x 1 x 3 ; z 4
связи:
= x 2 2; z 5 = x 2 x 3 ; z 6 = x 2 3. При такой замене переменных будет 6 уравнений
V 2 (z) = z 1 z 4 − z 2 2 = 0, V 3 (z) = z 1 z 6 − z 2 3 = 0, V 4 (z) = z 4 z 6 − z 2 5 = 0 ,
V 5 (z) = z 1 z 5 − z 2 z 3 = 0, V 6 (z) = z 2 z 5 − z 3 z 6 = 0, V 7 (z) = z 2 z 6 − z 3 z 4 = 0 .
Для упомянутых форм 4 порядка возможно сведение к квадратичной форме шести переменных
z 1 , z 2 , . . . , z 6 при условии 6 связей: V 2 (z) = 0, V 3 (z) = 0, . . . , V 7 (z) = 0.
Простым сопоставлением видно, что эта задача сложнее знакоопределенности формы 8
порядка двух переменных, и проще по сравнению с формой 10 порядка.
Таким образом, изложенный способ предполагает распространение на формы более
высокого порядка и большего числа переменных. Вопрос сводится к сложности решения
условно экстремальных задач нелинейных функций.
Список литературы
[1] Садовский А.П. О проблеме центра и фокуса. - М.: ДУ, 1968, т. 4, в. 5, сс. 943-945
[2] Иртегов В.Д., Новиков М.А. Знакоопределенность форм четвертого порядка от двух
переменных.// В кн. Метод Ляпунова и его приложения.- Новосибирск: Наука, 1984,
сс. 87-93
[3] Утешев А.Ю., Шуляк С.Г. Критерий асимптотической устойчивости системы двух
дифференциальных уравнений с однородными правыми частми. - Минск: Наука и техника,
ДУ, 1987, N 6, сс. 1009-1014
[4] Утешев А.Ю. Использование однородных форм в качестве функций Ляпунова. - Л.:
ЛГУ, ВИНИТИ, 2942-В87, серия: математика, механика, астрономи, 1987, 13с.
[5] Чернятин В.А. О знакоопределенности произвольных форм четного пордка. - Минск:
ДАН БССР, 1966, т. 10, N 11, сс. 821-823
[6] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967, 576 с.
[7] Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем.- М.: Наука, 1979, 299 с.
140