Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

Пример 1. Нелинейная задача Эдсберга [1]:
dy
dt = 2ay2 , y(0) = 10, a = 10 3 , t ∈ [0, 1],
y n+1 = y n exp(−2ay n ∆t).
Замечание 1. В случае сложной правой части (1) при x n → 0 полагаем z = 1 + x,
ż = ẋ.
Замечание 2. Формула (6) применима также к системе уравнений типа (1) при
x ∈ R k , f ∈ R k , y ∈ R k , g ∈ R k .
2. Рунге–Кутта
Для численного интегрирования задачи (1) часто применяют метод Рунге–Кутта четвертого
порядка. В целях простоты изложения рассмотрим одну из распространенных
явных схем
R 4 [f n ] = 1 6 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ), x n+1 = x n + R 4 [f n ],
k 1 = f(x n , t n )∆t, k 2 = f(x n + 0,5k 1 , t n + 0,5∆t)∆t,
k 3 = f(x n + 0,5k 2 , t n + 0,5∆t)∆t, k 4 = f(x n + k 3 , t n + ∆t)∆t.
(7)
Для каждого приближения в систему (7) введем параметр α n из условия
x n+1 = x n + R 4 [f n ]α n
x n+1
x n
,
α n x n+1
x n
= 1.
В результате получим
x n+1 =
x 2 n
x n − R 4 [f n ]α n
,
α n = x n−1
x n
.
Окончательно имеем
x n+1 =
x 3 n
x 2 n − R 4 [f 4 ]x n−1
, n = 1, 2, . . . , x(0) = x 0 . (8)
Для n = 1 значение x 1 можно получить по формуле (6).
Замечание 3. Схему типа (8) можно также применит и к системе дифференциальных
уравнений.
3. Сингулярно возмущенные уравнения
Рассмотрим систему из двух уравнений
ẏ = f(x, y), εẋ = g(x, y), x(0) = x 0 , y(0) = y 0 , t ∈ [0, T ]. (9)
Система (9) является жесткой при малых значениях параметра ε.
82