Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

поле описывается уравнениями Максвелла. На поверхностях разрыва σ ′ выполняются
условия непрерывности тангенциальных составляющих электромагнитного поля. Электромагнитное
поле также удовлетворяет условиям излучения на бесконечности [1].
Будем рассматривать электрическую составляющую E электромагнитного поля, а в
области Ω 1 уравнения будем записывать относительно аномального поля E − E 0 .
2. Математическая модель
Рассматривается гильбертово пространство
H(rot, Ω) = {u| u∈(L 2 (Ω)) 3 , rot u∈(L 2 (Ω)) 3 } ,
∫
{
‖u‖ = |u| 2 + |rotu| 2} dΩ.
Ω
Вариационная постановка задачи. Найти E ∈ H(rot, Ω 2 ) такое, что ∀ V ∈ H(rot, Ω 2 )
∫
{
rot(E − E 0 ) rotV − k 2 (E − E 0 )V } ∫
{
dΩ + rotE rotV − k 2 EV } dΩ =
Ω 1
∫
∫ Ω 2 \Ω 1
(1)
= − [rotE×V]n 2 dΓ + [rotE 0 ×V]n 1 dΓ ,
Γ 2 Γ 1
1
[ ∫
2 [n {
2×rotE] − n 2 × ω 2 µ[n 2 ×E]G H − iω σ [n 2×rotE]rotG H − iω ′ σ (n 2rotE)divG H} ]
dΓ = 0,(2)
′
Γ 2
где n 1 , n 2 – нормали к Γ 1 и Γ 2 , внешние к Ω 1 и Ω 2 соответственно; G H – матрица фундаментальных
решений магнитного типа для задачи в пространстве R 3 с параметрами
вмещающей среды R 3 \Ω 2 ; параметр k 2 = iωµσ ′ . Интегро-дифференциальное граничное
условие (2) следует из обобщения формул Стрэттона-Чу для среды, параметры которой
зависят от одной декартовой координаты (например, горизонтально-слоистая среда) [1].
Интегрирование в уравнении (2) следует понимать в смысле главного значения Коши,
поскольку диагональные элементы G H имеют особенность: G H pp(M, M 0 ) ∼ σ′ (M 0 )
4πiωR MM0
R MM0
→ 0.
Рассмотрим случай вертикальной скважины, когда свойства среды не зависят от азимутальной
координаты ϕ цилиндрической системы координат {r, ϕ, z} , ось Oz которой
совпадает с осью скважины. В качестве источника выберем набор соосных со скважиной
катушек, возбуждающих только азимутальную компоненту электрического поля E ϕ . Тогда
задача решается в областях Ω 1 ⊂ Ω 2 ⊂ R + ×R с искомой функцией u(r, z) = E ϕ (r, z) и
известным первичным полем u 0 (r, z) = E 0 ϕ(r, z). При этом решение u(r, z) удовлетворяет
условиям на оси и бесконечности:
1. u(0, z) = 0 ∀z ∈(−∞, ∞),
∂u
2. u ∼ o(1/R),
∂r − iku ∼ o(1/R) при R = √ r 2 + z 2 → ∞.
Рассматривается гильбертово пространство
H(rot ϕ , Ω) = {u | u∈L 2 (Ω) , ∂u
∂z ∈L2 (Ω) , 1 ∂(ru)
∈L 2 (Ω)} ,
∫ {
r ∂r
‖u‖ = u 2 + ( }
∂u) 2 (1 ∂(ru) ) 2
+ r dr dz.
∂z r ∂r
Ω
127
при