Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

порядка точности построен комбинированный алгоритм интегрирования, в котором
допускается замораживание как численной, так и аналитической матрицы Якоби. Приведены
результаты расчетов двух задач.
1. L-устойчивый (2,1)-метод
В [5] для численного решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных
уравнений
y ′ = f(y), y(t 0 ) = y 0 , t 0 ≤ t ≤ t k , (1)
где y и f – вещественные N-мерные вектор-функции, t – независимая переменная, предложен
класс (m, k)-методов. С точки зрения реализации на ЭВМ (m, k)-методы столь же
просты, как и схемы типа Розенброка. Однако в отличие от методов типа Розенброка, в
данном классе значительно проще решаются проблемы замораживания и численной аппроксимации
матрицы Якоби. Кроме того, (m, k)-методы обладают более хорошими свойствами
точности и устойчивости при незначительном увеличении вычислительных затрат.
В традиционных методах число стадий m полностью описывает численную формулу. В
(m, k)-методах для описания численных схем требуется две постоянные: m – число стадий
и k – количество вычислений правой части системы (1) на шаге интегрирования. Рассмотрение
автономной задачи (1) не снижает общности, потому что неавтономную задачу
введением дополнительной переменной всегда можно привести к автономному виду.
Для решения задачи (1) рассмотрим (2,1)-схему вида
y n+1 = y n + p 1 k 1 + p 2 k 2 , D n k 1 = hf(y n ), D n k 2 = k 1 , (2)
где k 1 и k 2 – стадии метода; D n = E − ahA n , E – единичная матрица, h – шаг интегрирования,
A n – некоторая матрица, представимая в виде
f ′ n
A n = f ′ n + hB n + O(h 2 ), (3)
= ∂f(y n )/∂y – матрица Якоби системы (1), B n – не зависящая от шага интегрирования
произвольная матрица, a, p 1 и p 2 – числовые коэффициенты. Использование при
построении метода матрицы A n , представимой в виде (3), позволяет применять (2) с замораживанием
как аналитической, так и численной матрицы Якоби [6]. Если матрица Якоби
f n−k ′ вычислена k шагов назад, имеем B n = −kf nf ′′ n , f nf ′′ n = ∂ 2 f(y n )/∂y 2 . Если матрица
Якоби вычислена численно с шагом r j = c j h, то элементы b n,ij матрицы B n имеют вид
b n,ij = 0.5c j ∂ 2 f i (y n )/∂yj 2 . В расчетах шаг r j выбирался по формуле r j = max(10 −14 , 10 −7 |y j |).
Получим коэффициенты L-устойчивой численной схемы (2) второго порядка и неравенство
для контроля точности вычислений. Разложение точного решения y(t n+1 ) в ряд
Тейлора в окрестности точки t n до членов с h 3 имеет вид
y(t n+1 ) = y(t n ) + hf + 0.5h 2 f ′ f + h3
6 (f ′2 f + f ′′ f 2 ) + O(h 4 ), (4)
где элементарные дифференциалы f, f ′ f, f ′2 f и f ′′ f 2 вычислены на точном решении y(t n ).
Для нахождения коэффициентов a, p 1 и p 2 запишем разложения стадий k 1 и k 2 в ряды
Тейлора в окрестности точки y n до членов с h 3 включительно и подставим в (2). Получим
y n+1 = y n + (p 1 + p 2 )hf n + a(p 1 + 2p 2 )h 2 f ′ nf n + a 2 (p 1 + 3p 2 )h 3 f ′2
n f n +
+a(p 1 + 2p 2 )h 3 B n f n + O(h 4 ), (5)
143