Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

К системе (9) применим схемы (7), (8). В результате получим
y n+1 = y n + R 4 [f n ], x n+1 =
εx 3 n
εx 2 n − R 4 [g n ]x n−1
, n = 1, 2, . . . (10)
Основная трудность при применении формул (10) состоит в оценке x 1 (x 0 — задано).
Для получения упомянутой оценки рассмотрим следующую систему
εẋ = g(x, y), εż = h(z) = −az 2 , a > 0, z(0) = z 0 ≠ 0. (11)
Применяя к системе (11) явный метод Эйлера, получим
x 1 = x 0 + (z 1 − z 0 ) g(x 0, y 0 )
. (12)
−az0
2
Интегрирование уравнения εż = −az 2 приводит к результату
1
z = at
ε + c, c = 1 , z = εz 0
, z 1 =
z 0 ε + atz 0
Из (12), (13) следует
(
)
ε g(x0 , y 0 )
x 1 = x 0 +
− 1 = x 0 +
ε + a∆tz 0 −az 0
εz 0
ε + a∆tu 0
, ∆t = t 1 . (13)
(
1 −
Примечание. В формуле (10) y 1 вычисляется по формуле
y 1 = y 0 + R 4 [f 0 ].
)
ε g(x0 , y 0 )
. (14)
ε + a∆tz 0 az 0
Замечание 4.Формула (14) позволяет рассматривать произвольно число сингулярных
уравнений с различными малыми параметрами.
4. Примеры жестких систем
Пример 2.
dy 1
dt = 77,27(y 2 + y 1 (1 − 8,375 · 10 −6 y 1 − y 2 )), y 1 (0) = 3,
dy 2
dt = 1
77,27 (y 3 − (1 + y 1 )y 2 ), y 2 (0) = 1,
dy 3
dt = 0,161(y 1 − y 3 )), y 3 (0) = 2.
Система (15) описывает знаменитую химическую реакцию с предельным циклом в трехмерном
случае, так называемый “орегонатор” [1]. Система (15) имеет большую жесткость.
Приведем простой алгоритм решения системы (15).
y 1,n+1 = y 1n
a 1
+ 1 a 1
R 4 [77,27(y 1n + y 2n )],
y 2,n+1 = y 2n
a 2
(15)
a 1 = 1 + 77,27(8,375 · 10 −6 y 1n + y 2n )∆t n ,
+ 1 [ ]
y3n
R 4 , a 2 = 1 + (1 + y 1n)∆t n
,
a 2 77,27
77,27
83