Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

где L j1 ,j 2 ,··· ,j n
− (m × m)-матрицы возникающие при собирании производных одинакового
порядка и L k F (x) = F k (x). В частности для отображения (27) можно принять
L m−1 = diag{∂ m 1−1 /∂x m 1−1
1 , ∂ m 2−1 /∂x m 2−1
2 , · · · , ∂ m n−1 /∂x m 1−1
n } , (29)
где m = max{m j , j = 1, 2, · · · , n}. Из формулы (29) мы видим, что старшие степени операторов
дифференцирования дают информацию о степенях переменных x j в отображении
Фама. Возникает интересная задача о вычислении степеней в отображении Фама соответствующего
отображению y = F (x) по старшим степеням операторов дифференцирования
в формуле (28).
Свои методики определения кратности складываются у вычислителей. Влияние кратности
на численные процессы при решении систем вида (1) впервые исследовалось по
видимому в работах Rall’a (см. например, статья [14]), но на системы там накладывается
серьезное ограничение: x ∗ является изолированной точкой, в которой функция det A 0 (x)
обращается в нуль. Иначе говоря, det A 0 (x) ≠ 0 ∀x ≠ x ∗ из окрестности x ∗ . Легко убедиться,
что для примеров (3) это не так. Иногда для определения кратности используют
значения ранга (коранг) матрицы A 0 (x ∗ ). Если снова обратиться к системам (3), то видим,
что у первой системы rankA 0 (x ∗ ) = 0 ∀j > 1, а у второй rankA 0 (x ∗ ) = 2.
Рассмотрим проблему определения характера критической точки функции F (x). Пусть
F : R n → R и мы каким-то способом решили уравнение
Ψ(x) = gradF (x) = 0. (30)
Реализуется ли в точкe x ∗ : Ψ(x ∗ ) = 0 локальный минимум (максимум), либо она является
точкой перегиба, например, седловой? Если решение x ∗ кратное, то методы, основанные на
исследовании положительности (отрицательности) матрицы ‖∂ 2 F (x)/∂x i ∂x j ‖ n i,j=1 в точке
x ∗ , не работают. В настоящее время сформировалось такое предположение.
Гипотеза. Если точка x ∗ являлется решением системы (30), в ней достигается локальный
минимум функции F (x), и определена левая кратность решения, то она является
нечетным числом.
В подтверждение гипотезы приведем пример, когда это так. Пусть нуль является
решением системы (30) и в окрестности нуля существует замена x = Qz, det Q ≠ 0,
z = (z 1 , z 2 , · · · , z n ) ⊤ , со свойством
F (Qz) = α 0 +
n∑
j=1
z m j+1
j , (31)
где α−некоторая константа, m j −нечетные целые числа. Элементарные вычисления показывают,
что левая кратность нуля (решения соответствующей системы Ψ(x) = 0) здесь
является нечетной. Система grad ˜F (z) = 0, ˜F (z) = F (Qz) является отображением Фама
и легко видеть, что нечетность левой кратности решения является только необходимым
условием локального минимума. Локальный минимум в нуле достигается в нуле тогда и
только тогда, когда произведению m 1 m 2 · · · m n является нечетным числом.
В настоящее время большое развитие получили подходы, изложенные в монографиях
[3], [4], основанные на понятии 2-регулярности (p-регулярности) нелинейных задач [4, c.
39]. Пусть F : X → Y , где X, Y линейные нормированные пространства, F (x ∗ ) = 0, x ∗ ∈
X, и определено линейное отображение ˜Ψ(P, h) = F ′ (x ∗ ) + P F ′′ (x ∗ )[h] : X → Y , где ′ , ′′ -
первая и вторая производные, P -проектор на Y 2 вдоль Y 1 = imF ′ (x ∗ ), а Y 2 его прямое
52