Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

y 3,n+1 = y 3n
a 3
+ 1 a 3
R 4 [0,161y 1n ] , a 3 = 1 + 0,161∆t n .
Пример 3. Обозначим концентрации трех веществ, участвующих в реакции, через
u 1 , u 2 и u 3 , тогда
˙u 1 = −4 · 10 −2 u 1 + 10 4 u 2 u 3 , u 1 (0) = 1,
˙u 2 = 10 −2 u 1 − 10 4 u 2 u 3 − 3 · 10 7 u 2 2, u 2 (0) = 0,
˙u 3 = 3 · 10 7 u 2 2, u 3 (0) = 0, t ∈ [0, T ].
(16)
В системе (16) можно ввести малые параметры
⎧
⎪⎨ ε 1 ˙u 1 = −4 · 10 −6 u 1 + u 2 u 3 , ε 1 = 10 −4 , u 1 (0) = 1, ε ˙u 1 = f 1 ,
ε 2 ˙u 2 = 10 −6 u 1 − 10 −3 u 2 u 3 − 3u 2 2, ε 2 = 10 −7 , u 2 (0) = 0, ε ˙u 2 = f 2 ,
⎪⎩
ε 2 ˙u 3 = 3u 2 2, u 3 (0) = 0, t ∈ [0, T ], ε ˙u 2 = f 3 .
Согласно формуле (14) имеем
[
]
a∆tz 0 (−4 · 10 −6 u 1 (0) + u 2 (0)u 3 (0))
u 11 = u 10 +
, u 1 (0) = u 1 (0),
(ε 1 + a∆tz 0 )
az 0
[
]
a∆tz 0 [10 −6 u 1 (0) − 10 −3 u 2 (0)u 3 (0) − 3u 2
u 21 = u 20 +
2(0)]
,
(ε 2 + a∆tz 0 )
az 0
[
]
a∆tz 0 3u
2
u 31 = u 3 (0) +
21
.
(ε 2 + a∆tz 0 ) az 0
(17)
Далее вычисления проводятся по формуле (10)
u 1,n+1 =
ε 1 u 3 1n
ε 1 u 2 1n − R 4 [f 1n ]u 1,n−1
, n = 1, 2, . . .
Аналогичным образом вычисляются u 2,n+1 , u 3,n+1 .
Замечание 5. В формулах (17) выражение для u 31 содержит в правой части u 21 .
Последнее связано с тем, что u 2 (0) = 0 и поэтому применение метода Рунге–Кутта
некорректно.
Результаты расчетов модельных примеров показали эффективность предложенной
методики.
Список литературы
[1] В.И. Шалагпилин, Е.Б. Кузнецов. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая
параметризация. М.: УРСС, 1999.
[2] Ю.В. Ракитский, С.М. Устинов, И.Г. Черноруцкий. Численные методы решения
жестких систем. М.: Наука, 1979.
[3] В.И. Лебедев. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Физматлит,
2000.
84