Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

где вектор-функция y(t, c) является первыми n компонентами вектор-функции X(t). Допустим,
что существуют матрицы R j , S j такие, что оператор L 1 (D) = ν 1 ∏
(R j + DS j ), где
ν 1 < ν, обладает свойством
L 1 (D)M(D)y(t) = B 1 (D)y(t) ∀y(t) ∈ C ν+ρ [0, 1],
где в операторе B 1 (D) = ∑ ρ
i=0 λρ−i B 1,i , det B 1,0 ≠ 0. Все решения системы (21) являются
решениями системы B 1 (D)y(t) = L 1 (D)f и следовательно лежат в пространстве C ν 1−ρ [0, 1].
Если ν 1 < nu, то мы получим помимо представления (24) представление с другой гладкостью.
Это противоречие доказывает теорему. Действительно, рассмотрим систему
A k (D) =
k∑
α i (x ∗ )D k−i y(t) = f(t)
i=0
где A k (λ)− матрица из формулы (19). В соответствующем пучке вида (13) согласно лемме
2 каноническая форма (12) содержит нильпотентный блок N со свойством N j = 0, j k
и N j ≠ 0, j < k. Теорема доказана.
Замечание 2. Системы с вырожденной матрицей при старшей производной принято
называть дифференциально - алгебраическими уравнениями (ДАУ).
Укажем пример матриц R i , S i , отличных от матриц из процесса (9). В процессе (4),
(5) можно принять
L i =
(
Y1,i
0
)
+ q i
( 0
Y 2,i
)
,
( )
Y1,i
= Y
Y i , Y i A i (x ∗ ) =
2,i
j=1
(
A1,i (x ∗ )
0
)
, (25)
где det Y i ≠ 0 и число нулевых строк в матрицах Y i A i (x ∗ ) равно m − rankA i (x ∗ ). Более
того, в условиях теоремы 1 при вычислении матриц R i , S i по формулам (25) через k
шагов в (5) получим det A k+1 (x ∗ ) ≠ 0. Ввиду громоздких выкладок мы не будем приводить
доказательство.
Отметим еще одно обстоятельство. Если компоненты вектор-функции F (x) в системе
(1) являются многочленами от переменных x 1 , x 2 , · · · , x n , то заменами переменных мы
всегда можем свести исходную систему к системе, у которой компоненты являются многочленами
не выше второй степени
F (x) = b + Gx + H(x) = 0, (26)
где b−некоторый вектор из R m , G − (m × n)-матрица, H(x) =
((H 1 x, x), (H 2 x, x), · · · , (H m x, x)) ⊤ , H j − (n × n)-матрицы, j = 1, 2, · · · m. Если b = 0,
то нулевой корень является простым тогда и только тогда, когда rankG = m.
Например, пусть уравнение имеет вид x 8 1 = 0. Заменами x 2 1 = x 2 , x 2 2 = x 3 оно сводится
ко второй системе (3). В случае, когда компоненты F (x) являются многочленами не выше
второй степени, матричный многочлен (19) имеет вид пучка матриц A i (λ) = λ i A 0 (x ∗ ) +
λ i−1 A 1 , i = 1, 2, · · · . и кратность корня x ∗ совпадает с индексом пучка ν.
Проиллюстрируем сказанное выше на примере F (x) = (x 2 − x 2 1, x 2 2 = 0) ⊤ . Решение
единственно: x ∗ = (0, 0) ⊤ . В формулах (25) принимаем Y 1 = E 2 .
Шаг 1.
A 0 (x) =
( ) ( −2x1 1
0 1
, A
0 2x 0 (0) =
2 0 0
50
) ( 1 0
, R 1 =
0 0
) ( 0 0
, S 1 =
0 1
)
,