Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

Определители Гурвица представляют собой полиномы от пяти d i . Необходимыми условиями
положительности полиномов в положительном ортанте являются требования
неотрицательности коэффициентов при высших и нулевых степенях переменных.
3.1. Определитель Гурвица второго порядка
Определитель Гурвица второго порядка Γ 2 = a 1 a 2 − a 0 a 3 может быть записан в следующем
виде:
Γ 2 = ∑ ( ) ( )
d 2 i A2k,m,n d j (−ai,i ) + d i d j d k A3m,n − A 2i,m,n a i,i − A 2m,j,n a j,j − A 2m,n,k a k,k (3)
(i ≠ j ≠ k ≠ m ≠ n, i + j + k + m + n = 15; i, j, k, m, n = 1, 5; здесь и везде индексы
упорядочены по возрастанию). Форма (3) имеет общую степень по всем d i равную трем, по
каждому d i не более двух. Как видно из формы (3), коэффициенты при вторых степенях
любой переменной неотрицательны (коэффициент положителен по крайней мере по одной
из переменных), если матрица (1) такова, что A ∈ (−P 0 ). Если дополнительно выполнены
условия ( )
A3m,n − A 2i,m,n a i,i − A 2m,j,n a j,j − A 2m,n,k a k,k 0,
(4)
i ≠ j ≠ k ≠ m ≠ n, i + j + k + m + n = 15; i, j, k, m, n = 1, 5,
то полином Γ 2 (3) положителен при любых d i > 0. Как показано будет ниже, условия (4)
далеки от необходимых. Введем следующие обозначения:
{
β12 = A 31,2 + (√ −A 21,2,3 a 3,3 + √ −A 21,2,4 a 4,4 + √ −A 21,2,5 a 5,5
) 2,
β 13 = A 31,3 + (√ −A 21,2,3 a 2,2 + √ −A 21,3,4 a 4,4 + √ −A 21,3,5 a 5,5
) 2,
β 14 = A 31,4 + (√ −A 21,2,4 a 2,2 + √ −A 21,3,4 a 3,3 + √ −A 21,4,5 a 5,5
) 2,
β 15 = A 31,5 + (√ −A 21,2,5 a 2,2 + √ −A 21,3,5 a 3,3 + √ −A 21,4,5 a 4,4
) 2,
β 23 = A 32,3 + (√ −A 21,2,3 a 1,1 + √ −A 22,3,4 a 4,4 + √ −A 22,3,5 a 5,5
) 2,
β 24 = A 32,4 + (√ −A 21,2,4 a 1,1 + √ −A 22,3,4 a 3,3 + √ ) 2,
(5)
−A 22,4,5 a 5,5
β 25 = A 32,5 + (√ −A 21,2,5 a 1,1 + √ −A 22,3,5 a 3,3 + √ ) 2,
−A 22,4,5 a 4,4
β 34 = A 33,4 + (√ −A 21,3,4 a 1,1 + √ −A 22,3,4 a 2,2 + √ ) 2,
−A 23,4,5 a 5,5
β 35 = A 33,5 + (√ −A 21,3,5 a 1,1 + √ −A 22,3,5 a 2,2 + √ ) 2,
−A 23,4,5 a 4,4
β 45 = A 34,5 + (√ −A 21,4,5 a 1,1 + √ −A 22,4,5 a 2,2 + √ ) 2 }
−A 23,4,5 a 3,3 .
Выполним необходимые преобразования и приведем Γ 2 (3) к виду
Γ 2 = 1/3(
∑
i,j d kd m d n
(
2
(
A3i,j − A 2i,j,k a k,k − A 2i,j,m a m,m − A 2i,j,n a n,n
)
+ βi,j
)
+
∑ ∑ (
i i( d √ √ ) 2
j,k
d j −A2k,m,n a j,j − d k −A2j,m,n a k,k
)),
(
i ≠ i ≠ k; i, j, k = 1, 5
)
.
(6)
В форме (6) для положительности выражения достаточно потребовать выполнение неравенств:
(
2
(A 3i,j − ∑ ) )
k A 2 i,j,k
a k,k + β i,j 0, ( i ≠ i ≠ k; i, j, k = 1, 5 ) . (7)
34