Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

матрицей Грама канонических образов {h R j , h I j}. Она имеет блочную структуру
Γ =
где элементы блоков суть скалярные произведения
( )
g1 g 2
g2 T , (12)
g 3
g 1 kj = 〈h R k , h R j 〉, g 2 kj = 〈h R k , h I j〉, g 3 kj = 〈h I k, h I j〉, k, j = 1, n. (13)
3. Каноническое преобразование интегральных функционалов
Остановимся на проблеме канонического преобразования интегральных функционалов
системы (8). Эту проблему можно понимать как разрешение вариационных равенств (9).
Как известно из теории метода НС [2, 3], решение такой задачи представляется через
функцию Грина G(s, t) краевой задачи, получаемой интегрированием по частям этих равенств.
Эта симметричная функция может также пониматься как воспроизводящее ядро
пространства W2[0, l ∞). Такие ядра построены в [3] для значений l = 1, 2 и в [11] для l = 3.
Мы ограничимся здесь простейшим случаем l = 1, для которого
G(s, t) =
{ e −t ch(s), s t;
e −s ch(t), t < s.
(14)
Согласно смыслу воспроизводящего ядра G(s, t) канонические образы интегральных
функционалов (9) вычисляются [1, 3] по формулам
h R j (s) =
∫ ∞
e −σ jt cos(ω j t)G(s, t)dt, h I j(s) =
∫ ∞
e −σ jt sin(ω j t)G(s, t)dt.
0
0
Для функции (14) вычисление этих интегралов приводит к формулам
h R j (s) =
1
(σ 2 j + ω2 j )2 − 2(σ 2 j − ω2 j ) + 1 [
σj (ω 2 j + σ 2 j − 1)e −s +
[
(1 − σ
2
j + ω 2 j ) cos(ω j s) + 2σ j ω j sin(ω j s) ] e −σ js ] ,
h I j(s) =
1
(σ 2 j + ω2 j )2 − 2(σ 2 j − ω2 j ) + 1 [
ωj (ω 2 j + σ 2 j + 1)e −s +
[
(1 − σ
2
j + ω 2 j ) sin(ω j s) − 2σ j ω j cos(ω j s) ] e −σ js ] .
Коэффициенты соответствующей матрицы Грама (12) вычисляются по формулам, более
простым, чем скалярные произведения (13):
g 1 kj =
∫ ∞
e −σ ks cos(ω k s)h R j (s)ds, g 2 kj =
∫ ∞
e −σ ks cos(ω k s)h I j(s)ds, g 3 kj =
∫ ∞
e −σ ks sin(ω k s)h I j(s)ds.
0
0
0
73