Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

где элементарные дифференциалы f n , f ′ nf n , f ′2
n f n , f ′′
nf 2 n и B n f n вычислены на приближенном
решении y n . Полагая y n = y(t n ) и сравнивая (4) и (5) до членов с h 2 включительно,
получим условия второго порядка точности схемы (2), то есть
p 1 + p 2 = 1, ap 1 + 2ap 2 = 0.5. (6)
Исследуем устойчивость численной формулы (2). Применяя ее к задаче
y ′ = λy, y(0) = y 0 , Re(λ) < 0, (7)
получим y n+1 = Q(x)y n , x = hλ, где функция устойчивости Q(x) имеет вид
Q(x) = [1 + (p 1 + p 2 − 2a)x + a(a − p 1 )x 2 ]/(1 − ax) 2 .
Тогда схема (2) будет L-устойчивой, если p 1 = a. Подставляя это соотношение в (6), получим
набор коэффициентов
где a определяется из условия L-устойчивости
p 1 = a, p 2 = 1 − a, (8)
a 2 − 2a + 0.5 = 0. (9)
Сравнивая (4) и (5) до членов с h 3 включительно получим, что локальная ошибка δ n
численной схемы (2) с коэффициентами (8) имеет вид
δ n = (h 3 /6)[(6a − 2)f ′2 f + f ′′ f 2 − 3B n f] + O(h 4 ). (10)
Уравнение (9) имеет два корня a 1 = 1 − 0.5 √ 2 и a 2 = 1 + 0.5 √ 2. Выберем a = a 1 , так как
в этом случае меньше коэффициент в главном члене (a − 1/3)h 3 f ′2 f ошибки (10).
Рассмотрим одновременно численную формулу типа Розенброка с двумя вычислениями
функции f на каждом шаге
y n+1 = y n + p 1 k 1 + p 2 k 2 , D n k 1 = hf(y n ), D n k 2 = hf(y n + βk 1 ). (11)
При β = a набор коэффициентов (8) обеспечивает второй порядок точности (11), а условие
(9) – ее L-устойчивость. Формула (11) с коэффициентами (8) является одной из наиболее
удачных среди методов типа Розенброка с двумя вычислениями правой части дифференциальной
задачи на шаге интегрирования. Локальная ошибка δn
roz метода (11) имеет вид
δ = h 3 [(a − 1 3 )f ′2 f + ( 1 6 + 1 − √ 2
a)f ′′ f 2 − aB n f] + O(h 4 ). (12)
2
Схема (2) с коэффициентами (8), также как и (11) с коэффициентами (8), обладает вторым
порядком точности и L-устойчивостью, а их локальные ошибки (10) и (12) различаются
незначительно. В тоже время (2) требует на каждом шаге на одно вычисление функции
f меньше (11) при прочих равных затратах, что делает ее предпочтительнее.
Контроль точности вычислений численной схемы (2) построим по аналогии [7]. Для
этого введем обозначение
v(j n ) = D 1−j n
n (k 2 − k 1 ), (13)
144