Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

дополнение. Тогда отображение F является 2-регулярным в точке x ∗ на элементе h ∈ X,
если оператор ˜Ψ(P, h) сюрьективен. Отсюда следует, что при X = R n , Y = R m оператор
˜Ψ(P, h) − (m × n)- матрица, rank ˜Ψ(P, h) = m и это определение эквивалентно правой кратности
k = 2. Используя специальную запись (кортежи) ряда Тейлора даются определения
регулярности более высоких порядков [6].
5. Метод Ньютона в случае кратных решений
Рассмотрим поведение метода Ньютона при наличии кратных корней. Известно (см.
например, [1, c. 136]), что , последовательность вида
x [j+1] = x [j] − [A 0 (x [j] )] −1 F (x [j] ), j = 0, 1, · · · , (32)
в случае простого корня сходится к решению x ∗ с квадратичной скоростью сходимости:
‖x [j+1] − x ∗ ‖ c‖x [j] − x ∗ ‖ 2
при достаточно малом значении величины ‖x [0] −x ∗ ‖, где j− номер итерации, c− некоторое
число. Для одномерного случая известна оценка ‖x [j+1] −x ∗ ‖ q‖x [j] −x ∗ ‖, где q = (k−1)/k.
При n > 1 ситуация гораздо сложнее. Установить зависимости между кратностью и
сходимостью удалось установить только для некоторых частных случаев. Пусть в системе
(26) b = 0 и
P GQz + P H(Qz) = (z 2 1 − z 2 = 0, z 2 2 − z 3 = 0, · · · z 2 n−2 − z n−1 = 0, z 2 n = 0) ⊤ , (33)
где P, Q−постоянные неособенные матрицы, x = Qz. Частным случаем такой системы
является вторая система (3) при n = 3. Здесь матрица A(λ) = λN + E n , построенная по
формуле (19), где z ∗ = 0, c = (−1/2, −1/2, · · · , −1/2) ⊤ , в матрице N = ‖n ij ‖ i,j=n элементы
n i,i+1 = 1, i = 1, · · · n − 1, а остальные элементы нулевые. Согласно теореме 1 кратность
решения z ∗ = 0 равна n + 1.
Применим к системе (33) метод (32). После ряда преобразований мы получим итерационный
процесс
z [j+1]
1 = z [j]
1 /2 + z [j]
2 /4z [j]
1 − z [j]
3 /(8z [j]
1 z [j]
2 ) + · · · + (−1) n z [j]
n−1/(2 n z [j]
1 z [j]
2 · · · z [j]
n−1);
z [j+1]
n−2
.
= z [j]
n−2/2 + z [j]
n−1/4z [j]
n−2 − z [j]
n /(8z [j]
n−2z [j]
n−1);
z [j+1]
n−1
= z [j]
n−1/2 + z [j]
n /4z [j]
n−1;
z [j+1]
n
= z [j]
n /2. (34)
Лемма 5. Существует многообразие {z : M(z) = 0} ⊂ R n такое, что при z [0] =
(z [0]
1 , z [0]
2 , · · · , z n [0] ) ⊤ ∈ {z : M(z) = 0} для процесса (34) справедливы равенства
где |θ i | = (1/2) ξ(i) , ξ(i) = 1/2 n−i .
z [j]
i = (θ i ) j z [0]
i , i = 1, 2, · · · , n,
53