Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

в L множества M ⊂ L при отображении f i ; f −k
i M = f −1
i M) – полный прообраз
k-го порядка множества M в L при отображении f i , где для i = 1 L = [a, x p ], а для i = 2
L = (x p , b].
В [1] показано, что выполнение условий (2) влечет неравенства
(f −(k−1)
i
∀x ∈ [a, x ∗ i ) f i (x) > x, ∀x ∈ (x ∗ i , b] f i (x) < x. (3)
Кроме того, из данного в [1] доказательства необходимых и достаточных условий притяжения
неподвижной точки, следует, что при выполнении условий (2) для итерационного
процесса x i (n + 1) = f i (x i (n)) областью притяжения неподвижной точки x ∗ i будет отрезок
[a, b].
Для процесса (1) рассмотрим области притяжения P (x ∗ i ) неподвижных точек x ∗ i функций
f i (x) и области решений с бесконечным числом переключений его правой части при
различном расположении точек x ∗ i относительно точки разрыва (переключения правой
части) x p . Для этого в [a, x p ] выделим множество W 0 точек перехода из [a, x p ] в (x p , b] за
один шаг и множество W точек из [a, x p ], из которых итерационный процесс (1) по f 1
попадает в (x p , b]:
W 0 = {x ∈ [a, x p ] : f 1 (x) > x p }, W = ⋃ k0
f −k
1 W 0 .
При этом S = [a, x p ] \ W – множество точек, из которых итерационный процесс (1) не
покидает [a, x p ], т.е. остается в S.
В промежутке (x p , b] выделим множество V 0 точек перехода из (x p , b] в [a, x p ] за одну
итерацию и множество V точек, из которых процесс (1) по f 2 попадает в [a, x p ]:
V 0 = {x ∈ (x p , b] : f 2 (x) x p }, V = ⋃ k0
f −k
2 V 0 ;
тогда G = (x p , b] \ V – множество точек из (x p , b], из которых процесс (1) не покидает
(x p , b], т.е. остается в G.
Множество W разобьем на части W1 V и W1 G по переходам, которые происходят из W 0 ,
в V и G:
W1,0 V = {x ∈ W 0 : f 1 (x) ∈ V }, W1
V = ⋃ f1 −k W1,0;
V
k0
W G 1,0 = {x ∈ W 0 : f 1 (x) ∈ G}, W G 1
= ⋃ k0
f −k
1 W G 1,0.
Множество V разобьем на части V W
1 и V S
1 по переходам из V 0 в W и S:
V1,0 W = {x ∈ V 0 : f 2 (x) ∈ W }, V1 W = ⋃ f2 −k V1,0;
W
k0
V1,0 S = {x ∈ V 0 : f 2 (x) ∈ S}, V1 S = ⋃ f2 −k V1,0.
S
k0
Далее множество W1 V разобьем на части W2 V и W2 S по переходам в V1 W и V1 S , а множество
V1 W на части V2 W и V2 G по переходам в W1 V и W1 G :
W2,0 V = {x ∈ W1,0 V : f 1 (x) ∈ V1 W }, W2 V = ⋃ f1 −k W2,0;
V
k0
8