Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

V 1 (z) , доставляющие знакоопределен-
выполняется G < 0.
Следует отметить, что квадратичные формы
ность W (x, y), учитываются условиями (1.3).
3. Заключение
В статье показана пригодность к исследованию знакоопределенности форм выше второго
пордка подхода, сводящего степенной заменой переменных исходную форму к квадратичной.
Для демонстрации выбрана форма четвертого порядка двух переменных, результаты
которой известны разными подходами: прямым методом решени алгебраического
уравнени W (z, 1) = 0, сведением к Ганкелевым формам с последующим анализом
числа вещественных корней уравнения W (z, 1) = 0, и другими разновидностями метода
Штурма. Анализ свойств параметрической квадратичной формы устанавливает полное
соответсвие ее с исходной формой двух переменных. Сопоставление с известными способами
дает основание для распространения изложенного подхода к исследованию более
сложных форм по порядку и числу переменных.
В простейшем случае для форм двух переменных
W (x, y) = x 2m + a 2m−2 x 2m−2 y 2 + . . . + a 1 x y 2m−1 + a 0 y 2m
переход к квадратичной форме будет осуществляться степенной заменой переменных:
z 1 = x m ; z 2 = x m−1 y; . . . ; z L = y m .
Количество переменных квадратичной формы определяется числом всех возможных мономов
степени k для общего числа n переменных, и вычисляется по известной формуле
числом сочетаний из (n + k − 1) по k элементов. В приведенном случае: n = 2; k = m,
и отсюда легко получим
L = C m m+1 = m + 1 .
Количество уравнений свзи так же можно получить как число всех выражений z i z j
j = i + 2; i + 3; . . . ; L; i = 1; 2; . . . , L − 2. Оно легко вычисляется:
при
N = C 2 L−1 = C 2 m .
Так для 6 порядка двух переменных форма
W (x, y) = x 6 + a 4 x 4 y 2 + a 3 x 3 y 3 + a 2 x 2 y 4 + a 1 xy 5 + a 0 y 6 ,
при степенной замене: z 1 = x 3 ; z 2 = x 2 y; z 3 = x y 2 ; z 4 = y 3 сводится к квадратичной
форме
V 1 (z) = z 2 1 + a 4 z 2 2 + a 3 z 1 z 3 + a 2 z 2 3 + a 1 z 3 z 4 + a 0 z 2 4 .
Такая замена переменных приводит к трем уравненим связи:
V 2 (z) = 2 (z 1 z 3 − z 2 2) = 0, V 3 (z) = 2 (z 1 z 4 − z 2 z 3 ) = 0, V 4 (z) = 2 (z 2 z 4 − z 2 3) = 0 .
Аналогично (1.1) для исследования можно составить квадратичную форму
V (z, α) = V 1 (z) + α 1 V 2 (z) + α 2 V 3 (z) + α 3 V 4 (z) (4.1)
139