Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

УСЛОВИЯ D-УСТОЙЧИВОСТИ МАТРИЦ ПЯТОГО ПОРЯДКА 1
Л.А.Бурлакова
Институт динамики систем и теории управления, Иркутск
e-mail: irteg@icc.ru
Аннотация. Для свойства D-устойчивости матриц пятого порядка получены необходимые
условия и достаточные условия в терминах элементов матриц.
Ключевые слова: устойчивость, D-устойчивость, матрица, характеристическое уравнение.
1. Введение
Понятие D-устойчивости матриц появилось достаточно давно впервые в работах по
математической экономике [1], в дальнейшем нашло применение в математических методах
экологии [2]. При исследовании свойства D-устойчивости задача сводится к проверке
положительности действительного полинома от n переменных всюду в положительном
ортанте. Для матриц n × n общего вида известны лишь некоторые необходимые и некоторые
достаточные условия ([3], [4], [5] и др.). В общем случае определение D-устойчивости
затруднительно проверить за конечное число шагов (по определению работы [6] -
конструктивно) с помощью алгоритмов исключения переменных из полиномиальных
задач, так как трудоемкость алгоритмов исключения переменных в полиномиальных
задачах оптимизации не позволяет применить их к достаточно сложным полиномам
с большим числом и высокими степенями переменных [7]. Поэтому важна задача
построения аналитических проверяемых условий в терминах элементов матрицы. Для
матриц второго и третьего порядков давно известны необходимые и достаточные условия
D-устойчивости [5], [8], а для четвертого порядка проблема построения конструктивного
критерия (у нас в смысле получения аналитических выражений) до сих пор открыта [9].
Для матриц четвертого порядков в работе [6] изложен общий подход к решению задачи
на основе использования критерия Рауса-Гурвица, и описан алгоритм полиномиального
программирования для проверки численно достаточного условия и необходимого условия
D-устойчивости произвольных матриц 4 × 4 , программно реализованный в частных
случаях, когда матрица имеет не менее двух нулей на диагонали. Аналитические условия
для матриц четвертого порядка обсуждаются в работах [12],[13]; показано, что в частном
случае трех нулевых диагональных элементов в матрице полученные необходимые
условия с точностью до границы являются достаточными. В представляемой работе
получены необходимые условия D-устойчивости матрицы 5 × 5 в аналитическом виде
через элементы матрицы A, что позволяет проводить параметрический анализ заданной
системы; получены некоторые достаточные условия D-устойчивости матриц 5 × 5.
2. Основные определения
Пусть M n (R) - множество квадратных матриц размера n×n над полем R действительных
чисел; σ(A)– спектр матрицы A ∈ M n (R); D n ⊂ M n (R) – класс диагональных матриц
с положительными элементами на главной диагонали.
1 Работа частично поддержана ИНТАС-СО РАН, грант номер 06-1000013-9019
32