Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

2. Основные свойства квадратичной формы V (z, α).
Установим зависимость знакоопределенности V (z, α) от корней уравнения
f(λ) = λ 3 − p λ 2 /2 − r λ + pr/2 − g 2 /8 = 0 . (2.1)
Прежде всего покажем, что при втором условии (1.3) уравнение (2.1) всегда имеет три
различных вещественных корня. Перепишем это условие в виде
(p 2 + 12r) 3 > (p 3 − 36 pr + 27 g 2 /2) 2 ,
и после возведения в степени получим
Q(p, q, r) = r (p 2 − 4r) 2 + q 2 (9 pr − p 3 /4 − 27 q 4 /16 0 .
Для кубического уравнения (2.1) дискриминант [8] равен значению: −Q(p, q, r)/9 3 . Согласно
[8, 9] в этом случае заключаем о вещественности всех корней уравнения (2.1). Это
и подтверждает, что при выполнении второго условия (1.3) уравнение (2.1) всегда имеет 3
различных вещественных корн. Кратные корни (2.1) возможны при Q(p, q, r) = 0, когда
q 2 = 8 pr/3 − 2 p 3 /27 ± 2 √ (p 2 + 12r) 3 /27 .
Можно легко установить неравенство √ (p 2 + 12r) 3 + p 3 36 pr при любых значениях
p. Действительно, возводя в квадрат неравенство √ (p 2 + 12r) 3 36 p r − p 3 , получим
очевидное r (p 2 − 4 r) 2 0. Поэтому равенство q 2 = 8 pr/3 − 2 ( √ (p 2 + 12r) 3 + p 3 )/27
возможно в единственном случае при g = 0; p = 2 √ r. Другое равенство q 2 =
8 pr/3 + 2 ( √ (p 2 + 12r) 3 − p 3 )/27 может выполняться как при g = 0, так и при g ≠ 0.
Справедливо следующее
Утверждение 1. Для знакоопределенности (1.1) необходимо и достаточно, чтобы все
корни уравнения (2.1) были вещественными, наименьший из них был не кратным и принимал
значения, меньшие чем p/2.
Доказательство. Необходимость. Пусть V (z, α) ≫ 0, тогда при значениях λ ∈ D
выполняются J 2 (λ) > 0; J 3 (λ) > 0. Как ранее говорилось, J 3 (λ) > 0 в случае трех
вещественных различных корней уравнения (2.1). Для анализа знакопостоянств знаков
f(λ) можно выделить интервалы:
1. I 1 = (−∞, λ 1 ) , ( здесь f(λ) < 0),
2. I 2 = (λ 1 , λ 2 ) , λ 1 < λ 2 ( здесь f(λ) > 0),
3. I 3 = (λ 2 , λ 3 ) , λ 2 < λ 3 ( здесь f(λ) < 0),
4. I 4 = (λ 3 , ∞) , ( здесь f(λ) > 0).
Положительной определенности могут соответствовать только интервалы I 2 , I 4 . Требование
J 2 (λ) > 0 приводит к λ 1 < p/2. Для значений λ 1 ∈ I 2 , когда выполнено
J 2 (α 1 ) > 0; J 3 (α 1 ) > 0, форма (1.1) положительно определена как сумма 3 положительных
квадратов.
Необходимость в анализе I 4 возникает в случае, когда λ 1 = λ 2 , а также для проверки
условий (1.2). Записав выражение f(λ) в виде [(λ−p/2) (λ 2 −r) − g 2 /8], можно заключить,
что наибольший корень λ 3 уравнения (2.1) не меньше значения max [p/2, √ r]. Притом
равенство достигается только при g = 0. Рассмотрим здесь две возможности:
136