Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

т.е. P - это соприкасающийся параболоид поверхности M в точке p l i. Обозначим через F i
нормальное изображение окрестности точки p l i. Вершины многоугольника F i получаются
в результате решения линейной системы (6). Построим двойственную поверхность Ph ⋆, состоящую
из граней, касательных к M. Касательную грань, двойственную к p l i, обозначим
через Q i . Вершины многоугольника Q i можно найти в результате решения линейной системы
(4), где n l - нормали к поверхности M. В локальной системе координат они задаются
формулами
( )
n l (p l −∇f(pj )
j) =
1
Для вершины qk l двойственной многогранной поверхности P h ⋆ , в свою очередь, можно найти
нормальное изображение - многоугольник B k , плоскость которого параллельна грани G k ,
двойственной qk l . Вершины многоугольника B k можно найти из уравнения (11).
Определение 4. Будем говорить, что вершина p l i многогранной поверхности P h является
регулярной, если двойственный многоугольник Q i и ортогональная проекция многоугольника
F i на плоскость многоугольника Q i являются звездными относительно точки
p l i.
Определение 5. Будем говорить, что вершина qk l многогранной поверхности P h ⋆ является
регулярной, если грань G k поверхности P h и ортогональная проекция многоугольника
B i на плоскость грани g k являются звездными относительно точки qk l .
По существу эти два определения симметричны друг другу. Для невыпуклой поверхности
такое определение регулярности может оказаться слишком жестким. Вместо этого
можно ввести понятие слабой регулярности:
Определение 6. Будем говорить, что вершина p l i многогранника P h является слабо
регулярной, если двойственный многоугольник Q i и ортогональная проекция многоугольника
F i на плоскость многоугольника Q i являются простыми многоугольниками и содержат
p l i внутри себя.
а) б)
Рис. 4. а) Триангуляция параболоида и ее проекция на плоскость, б) двойственный многогранная
поверхность и ее проекция.
Если многоугольник B k является простым, то можно полагать, что вершина qk l является
слабо регулярной. На рис. 4 а) показан фрагмент триангулированной многогранной
поверхности P h , вписанной в эллиптический и гиперболический параболоид, и ее проекция
на плоскость x 3 = 0. Двойственный многогранная поверхность Ph ⋆ и его проекция
63