Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

Рассмотрим две системы
F 1 (x 1 , x 2 ) =
{ x
j
1 + x j 2 = 0
x j 1 − x j 2 = 0 , F 2 (x 1 , x 2 , x 3 ) =
⎧
⎨
⎩
x 2 − x 2 1 = 0
x 3 − x 2 2 = 0
x 2 3 = 0
, (3)
где j = 1, 2, · · · . Обе системы (3) имеют единственное решение: x ∗ = (0, 0) ⊤ , x ∗ = (0, 0, 0) ⊤ ,
соответственно. По аналогии с одномерным случаем еще можно предположить, что у системы
F 1 (x 1 , x 2 ) = 0 кратность корня равна j. Но для системы F 2 (x 1 , x 2 , x 3 ) = 0, у которой
компоненты являются полиномами не выше второй степени, вынести какое-то заключение
о кратности корня весьма затруднительно. Если решать ее методом исключения неизвестных
сверху вниз, то мы будем решать в конце уравнение x 8 1 = 0, у которого решение
имеет кратность 8. При исключении неизвестных снизу вверх мы последовательно решим
уравнения
x 2 3 = 0, x 2 2 = 0, x 2 1 = 0,
каждое из которых имеет решение кратности 2.
В работе [7] авторами было введено понятие кратности решения для системы (1) при
n > 1, совпадающее при n = 1 c классическим определением. В данной статье это понятие
обобщено и уточнено.
1. Определение кратности
По аналогии со скалярным случаем будем искать дифференциальные операторы, которые
понижают кратность корня и при n > 1, в виде выражений
L i = R i + q i S i , i = 1, 2, · · · , (4)
где q i = (c ⊤ i , grad), grad = (∂/∂x 1 , ∂/∂x 2 , · · · , ∂/∂x n ) ⊤ , c i −некоторые произвольные вектора
из R n , (. , .)−скалярное произведение в R n , R i , S i −(m×m)-матрицы. Иначе говоря,
∂ ∂
∂
q i = c 1,i + c 2,i + · · · + c n,i , c i = (c 1,i , c 2,i , · · · , c n,i ).
∂x 1 ∂x 1 ∂x n
Матрицы R i , S i выбираем из условия
F i (x ∗ ) = 0, F i (x) = L i · · · L 2 L 1 F (x). (5)
Определение 1. Пусть rankA 0 (x ∗ ) < min{m, n} и, начиная с некоторого минимально
возможного k 1, найдутся вектора c i и матрицы R i , S i , (i = 1, 2, · · · , k) такие, что в
последовательности (5) rankA k (x ∗ ) = min{m, n}, где A k (x) = ∂F k (x)/∂x. Тогда мы будем
говорить, что левая кратность корня x ∗ соответственно равна k + 1.
Равенство rankA k (x ∗ ) = min{m, n} эквивалентно неравенству det A k (x ∗ ) ≠ 0, если m =
n. Для вычисления матриц R i , S i , удовлетворяющих условию (5), мы будем использовать
аппарат полуобратных матриц.
Определение 2. (см. например, [8]). Матрица, обозначаемая в дальнейшем как A − ,
называется полуобратной к матрице A, если она удовлетворяет уравнению AA − A = A.
Полуобратная матрица определена для любой (m×n)−матрицы A и имеет размерность
(n×m) [8]. Ее частным случаем является псевдообратная матрица A + , методы вычисления
которой хорошо развиты (см. например, [9]).
44